Matematiske komposisjonsteknikker

 

I L-97 var arrangering og komponering et obligatorisk 3klassefag på musikklinja. Med LK-06, er strukturen på musikkfagene forandret. Komponering er nå et av hovedområdene i 5-timersfaget “musikkfordypning” (Internettkilde 7: hovedområder), som elevene har både i 2. klasse og 3. klasse. Musikkfordypning er et valgfag, men jeg kommer til å behandle det på lik linje som de obligatoriske fagene. I en av musikklassene jeg var i praksis i skoleåret 2012/2013, valgte alle elevene dette faget. Om komposisjon sier læreplanen følgende: “Hovedområdet omfatter teknikker for harmonisering, arrangering og komponering (Internettkilde 7: Hovedområder).” Et av kompetansemålene for musikkfordypning 2 er å “lage komposisjoner i ulik stil og med ulik karakter (Internettkilde 7: kompetanesmål).” Ingen av disse argumentene tilsier at elevene må lære matematiske komposisjonsteknikker, men det utelukkes heller ikke. Som lærer har man valget. Det står heller ikke noe om matematikk knyttet til komposisjon under grunnleggende ferdigheter. Forøvrig kritiserer jeg regning i musikkfordypning i mitt pedagogiske motstykke til denne oppgaven (Stensholt 2013: 15-16).

Hittil har jeg sett på matematikk som finnes i musikk uavhengig av komponisters intensjon. Med det mener jeg at musikken har link til matematikken fordi musikkens grunnelementer i sannhet er gjennomsyret av matematikk, og ikke fordi komponisten har valgt å inkludere matematikk. I dette kapittelet vil vi i stor grad se hvordan matematikken kan brukes som et hjelpemiddel og verktøy for å skape musikk. Jeg har tidligere uttrykt at dette er særlig utbredt på 1900tallet og frem til i dag. Vi kan se det i Schønbergs 12-toneteknikk som ble utviklet videre til full serialisme blant annet. At atonaliteten oppsto på 1900tallet er ikke overraskende. Hvis vi ser på utviklingen i musikken de siste 1000årene, er det tydelig at dissonanser og kromatikk stadig fikk større innpass. For Pythagoras var det kun oktav, kvint og kvart som var konsonerende. For Kepler var tersen og seksten også i denne bolken. Jonathan Cross (2003: 132), skriver at tonaliteten hadde utspilt sin rolle, og kunne ikke lenger ramme den ekstreme bruken av kromatikk og dissonans som hadde oppstått i senromantikken. Dissonansen måtte bli frigjort.

    Cross (Ibid: 132), skriver videre om problemet komponistene på 1900tallet fikk tonalitetens ramme ikke lenger var der. Og løsningen fant mange i matematikken. Schønberg fant den gjennom sin 12-toneteknikk, og skal selv ha sagt at “In music there is no form without logic, there is no logic without unity (Cross 2003: 132).” Jeg kommer tilbake til dette i slutten av kapittelet, men først vil jeg vise at å ta matematikken til hjelp er ikke noe nytt fenomen.

Guidos Metode

Kapittel 9 i boka Musimatics Vol. 1, handler om komposisjon. Garreth Loy (2006: 285-288), åpner kapittelet med å presentere det han kaller “Guido’s Method”. Loy skriver at Guido d’Arezzo utviklet rund år 1026 en måte å lære komponere,  som i hans tid betydde å sette melodi til Latinske tekster.  Loy skriver at denne metoden la grunnlage for objektiv komposisjon. Med det mener han bruk av en naturalistisk (objektiv) prosess i komposisjon. Loy (2006: 286), skriver forøvrig at metoden var en viktig kilde til utviklingen av organumstilen. Om denne metoden var tenkt som faktisk en metode for å komponere musikk, eller om det var et didaktisk hjelpemiddel er usikkert (ibid: 286). Uansett er metoden interessant, og den fungerer som følgende:

    Først setter man opp en liste med tonene i skalaen over 2 oktaver, og setter den opp mot en liste med de latinske vokalene ieaåo. Så setter man disse opp mot hverandre. Vi har 5 vokaler, som skal knyttes til 15 toner. Følgelig får hver vokal 3 toner knyttet til hverandre:

Komponisten har nå et objektivt grunnlag, der den latinske teksten avgjør hvilke toner som oppstår. Men komponisten har også et valg. For hver vokal finne det 3 tilhørende toner. Derav har komponisten 3 valg. For en tekst med 2 vokaler, vil vi ha 3*3 mulige melodikombinasjoner. Har teksten 4 vokaler, er det hele 3^4=81 mulige melodier. Med andre ord oppstår det fort mange muligheter selv i et tilsynelatende låst system. Hvis man likevel syns systemet var for begrenset, foreslo Guido at man kunne legge til en ekstra linje med vokaler under den opprinnelige, men la de starte et annet sted. Et viktig poeng er uansett, at denne metoden skal kun være grunnlaget og et hjelpemiddel. “Guido suggested that by selecting only the best excerpts from several attempts, composers could obtain a composition perfectly adapted to the text and meeting the requirements of good compositional practice (Loy 2006: 287).” Matematikken er altså en vei til målet, ikke selve målet. Dette vil vi se gjenspeilet hos 1900-tallskomponistene.

Avbildninger i musikken

Avbildninger er et virkemiddel brukes av 1900tallskomponister, men vi finner det i så og si all musikk i en eller annen form. Jeg skal her se på hva avbildninger er rent generelt, for så å oversette det til musikalsk språk. For å forstå denne overgangen er det lurt å tenke seg notesystemet som et 2dimensjonalt koordinatsystem der y-aksen representerer tonehøyde, og x-aksen representerer tid. Hvis vi tenker oss et normalt koordinatsystem der x er tid og y er tonehøyde, vil hver akse representere en kontinuerlig strøm av punkter. Alle frekvenser vil være mulig å finne på y-aksen, og alle mulige tidsenheter på x-aksen. Likevel er disse rammet inn av konkrete punkter, utfra hvilke parametere vi har satt på aksene. Et skritt på y-aksen kan for eksempel representere en oktav, og et skritt på x-aksen en firedel. Dette kan lett oversettes til et notesystem.Vi har en vertikal akse for tonehøyde, og en horisontal akse for tid. Selvom både tonehøyde og tid er kontinuerlige faktorer, er tonehøydeaksen begrenset til en minsteverdi, halvtonen. Tidsaksen er litt mer fri, men i praksis vil noteverdiene begrense denne til faste punkter, og ikke en kontinuerlig strøm. Min konklusjon er at et notesystem er et “begrenset koordinatsystem”, men i vår sammenheng kan det behandles likt.

Reinert A. Rinvold (2009:67) beskriver avbildninger som bevegelsens matematikk. Derfor er det kanskje passende at det er nettopp avbildninger vi skal se på i musikken, da musikk på mange måter er bevegelseskunst.

    “En avbildning er en forskrift som til ethvert punkt P i planet tilordner et punkt P’.”(Breiteig og Venheim 2005: 299). Det vil si at en avbildning flytter samtlige punkter i planet til en entydig ny posisjon. Hvis et punkt avbildes på seg selv, altså blir værende der det er før og etter avbildingen, kalles det et fikspunkt (Ibid: 305). En avbildning kan for eksempel være at alle punkter dobler eller halverer avstanden til origo. I dette tilfellet vil origo være et fikspunkt.  Et annet kan være at vi ignorerer alle y-koordinatene, og kun beholder x-koordinatene. Dette vil medføre at alle punkter med samme x-koordinat vil avbildes på samme punkt, og alle punktene på x-aksen vil være fikspunkter.

        I praksis betyr dette at vi bruker en matematisk regel til å gjøre en forandring med en figur, eller i vår sammenheng en musikalsk figur. Et eksempel kan foreksempel å doble tidsfaktoren. I praksis vil dette si at alle noteverdiene av et tema blir augmentert/forlenget (musikalsk eksempel i The lamb):

Originalfigur

Augmentert figur

En spesiell form for avbildninger, som kanskje er de avbildningene folk flest forbinder med fenomenet, er isometrier eller kongruensavbildninger. Disse avbildningene beholder alle avstandene i innad i figuren som avbildes (Breiteig og Venheim 2005: 299). I planet har vi 4 isometrier. Som Breiteig og Venheim definerer på følgende måte:

    a En speiling om ei linje l er slik at et vilkårlig punkt P avbildes på P’ slik at P’ kommer like langt som P fra l, men på motsatt side. Dessuten står linja PP’ vinkelrett på l. En speiling er bestemt ved ei linje - speilingslinja.

b En rotasjon en vinkel v om et punkt O er slik at et vilkårlig punkt P avbildes på  P’ slik at PO = P’O og vinkel-POP’=v. En rotasjon er bestemt ved et punkt - rotasjonssenteret - og en vinkel - rotasjonsvinkelen.

c En parallellforskyvning avbilder et vilkårlig punkt P på P’ slik at PP’ er parallell med og like lang som et gitt linjestykke UV. Dessuten har PP’ og UV samme retning. En parallellforskyvning er bestemt ved en vektor - ei pil, et linjestykke med retning.

d Når vi setter sammen en parallellforskyvning og en speiling der parallellforskyvningsvektoren  UV er parallell med speilingslinja l, får vi en glidespeiling.  (Ibid: 300)

Eystein Raude (2000: Melodien), ser på avbildninger musikalsk. Han bruker imidlertid funksjoner for å forklare dette matematisk. Jeg syns dette er et unødvendig vanskelig bilde, og vil heller bruke vektorbildet. I denne sammenheng trenger vi ikke en videre forståelse enn at en vektor er en pil med retning og lengde, som i vår sammenheng representerer en forflytning.

        En parallellforskyving er kanskje det fenomenet som er lettest å forstå musikalsk sett, da melodien blir værende som er, bare flyttet et annet sted. De  enkleste formene for parallellforskyvning er parallelt med x-aksen, som musikalsk sett betyr at en melodisnutt repeteres, og parallelt med y-aksen som vil si at melodisnutten transponeres. Parallellforskyvning i y-retning kan tolkes på 2 måter. Det kan være hele melodien transponeres til en ny toneart, slik vi med forsdomsfulle øyne kan påstå samtlige grand prix-låter er eksempel på. Imidlertid kan vi også oppfatte det som at vi legger på en annenstemme til melodien i en konstant avstand.

I dette eksempelet er den øverste stemmen en parallellforskyvning av den nederste, en ters opp. Vi kan legge merke til at avstanden mellom stemmene ikke er konstant, men tilpasses skalaen. Dette er fordi melodien er tilpasset skalaen. Vi har her en diatonisk forskyvning, som er en vanlig teknikk. Legg også merke til at takt 3, egentlig også er en parallellforskyvning av takt 1. Men her er den ikke bare forflyttet i x-retning men også i y-retning. En forflytning både i tid, er det vi kjenner som sekvensering. Denne teknikken er blant annet vanlig i barokken. Det kan være snakk om imitasjon mellom stemmegruppe, eller innad i en melodistemme. Jeg øver for tiden til en allehelgenskonsert med Tønsberg domkor der jeg synger. Vi skal synge 3 barokkverker. 2 av Bach, og 1 av Teleman. Alle har flere eksempler på både imitasjon og sekvensering. Her er to eksempler:

Her kan vi se et lengre motiv i tenorstemmen, som egentlig er bygd opp av 4 16-deler som flyttes en sekund opp for hver nye runde. Merk også at i de 2 første slagene i 2. takt imiterer altene tenorstemmen. De synger den bare en ters lysere.

I dette eksempelet presenteres først et tema i bassen, som så imiteres av tenorstemmen men flyttet en kvint lysere.   

Speilinger og rotasjoner er litt mer avansert, men vi finner mange eksempler på dette også. De avbildningene vi i praksis finner er speiling om en vertikal eller horisontal akse, eller rotasjoner på 180 grader, som forøvrig er entydig med å først speile om en horistontal akse, og så om en vertikal akse. Disse teknikkene finner vi brukt mye i 12-toneteknikken, der en speiling om en vertikal akse kalles for retrograd eller kreps, mens en speiling om en horisontal akse kalles omvending eller inversjon. En rotasjon på 180-grader vil være en omvendt kreps, eller invertert retrograd.
        Musikalsk kan dette gjøre seg gjeldende på enten tonehøyde, rytme eller begge deler. Wilfrid Hodges (2003: 100-104), viser til flere melodisnutter som har enten speilsymmetri eller rotasjonssymmetri, og hvor følgelig siste delen av melodien kan oppfattes som en avbildning av første delen.

Et eksempel på speilsymmetri om en vertikal akse, der vi ikke tar hensyn til tonenes lengde, men kun høyde har han hentet fra Hallelujakoret:

Han viser også et interessant eksempel på rotasjonssymmetri (Ibid: 104) hos Rimsky-Korsakiv. I operaen The golden cockerel (direkte oversatt fra engelsk: Den gyldne hane), er handlingen spunnet rundt en magisk fugl som synger 2 sanger. En når det er fare, og en når det er fred. Temaet for fred kan sees som en rotasjon av temaet for fare:

Se kapittel XL for et lengre eksempel på hvordan avbildninger kan brukes aktivt i musikken.

1900-tallets komposisjonsformer

At matematiske komposisjonsteknikker er en viktig del av musikken på 1900-tallet ble jeg bevisst da jeg tok faget “aktuell musikkvitenskap”, der vi så på musikken etter 1945. Ved en gjennomlesning av det Erling Guldbrandsen (2012 a, 2012b, 2012c, 2012d) skriver om vestens kunstmusikk fra 1945 til i dag, fant jeg nok innfallsvinkler til at dette alene kunne vært en masteroppgave. Han skriver blant annet at “komponistene [etter krigen] fant opp stadig nye strukturer og teknikker, gjerne basert på matematiske skjemaer og systemer(Gulbrandsen 2012a: 285).” Fordi dette er så omfattende, kommer jeg til å konsentrere meg om noen få ting, og ignorere resten. Jonathan Cross (2003: 131-146) viser til noen komponister på 1900tallet, som bruker matematikken som hjelpemiddel. Han viser blant annet til Peter Maxwell Davies, og hvordan han bruker magiske kvadrater til hjelp, samt Iannis Xenakis som finner en link mellom arkitektur og musikk.

        Et annet interessant tema som ikke blir gjennomgått her men som må nevnes er den elektroniske musikken fra siste halvdel av 1900tallet. Paul Griffiths (2006: 230) skriver at: “A great deal in music since 1945 seems to have been leaning towards cybernetics: the idea of music as sounding numbers, the importance of rules and algorithms in composition,” Karlheinz Stockhausen er et eksempel på en komponist som har gjort mye elektronisk musikk.

Jeg vil imidlertid nøye meg med å se litt på Arnold Schønbergs 12-toneteknikk, og litt på total serialisme. Som jeg skrev var dette på mange måter Schønberg sin “redning” når han mistet tonalitetens trygge grunn. Paul Griffiths (2007), skriver at I 12toneteknikk (eller 12-note serialism), er serien en organisering av de 12-notene i den tempererte kromatiske skalaen. I en skala er det kun hvilke toner som er inkludert som har noe å si. I en 12-tonerekke som på mange måter kan sees som en erstatning for skalaen er alle tonene involvert. Følgelig er det rekkefølgen på dem som har noe å si. Man skal i prinsippet være innom alle de 12 tonene i rekka før man starter på nytt igjen, men vi aksepterer oktavekvivalens, og følgelig kan tonene plasseres så lyst eller mørkt som man ønsker.  

12-tonerekka på bildet lagde en musikklasse der jeg var i praksis våren 2012. Måten vi lagde den på var ved fritt valg. Jeg lot en elev velge en tone, neste elev valgte neste tone osv. Eneste kravet var at tonen de valgte ikke var brukt før, og vi endte opp med denne 12-tonerekken. På denne måten har man 12!=479001600 mulige utfall/rekker. Foreløpig virker ikke 12-tonerekken veldig matematisk bortsett fra at det er et ordnet system man bruker. Derimot er det de teknikkene Schønberg brukte på grunnrekka matematiske. En rekke danner nemlig grunnlag for 48 variasjoner. Den kan nemlig omvendes (En speiling om en horisontal linje, gjennom første tone, som medfører at alle intervallene snus på hodet), krepses (En speiling om y-aksen, som medfører at rekken spilles baklengs), eller omvendtkrepses (Kombinasjon av omvending og kreps, noe som tilsvarer en rotasjon på 180 grader). Her er musikklassens 12-tonerekke i alle former. Jeg flytter 5. tone opp en oktav slik at rekkens omfang ikke overstiger oktaven.

Originalform

Omvending

Kreps

Omvendt Kreps

I tillegg til dette kan hver av disse 4 rekkene transponeres til 12 ulike starttoner.
Dette systemet er blitt kritisert for å mangle inspirasjon, og kun være mekanisk (Cross 2003: 132). Men Cross påpeker videre at dette er et misforstått syn. Noe musikk skrevet etter matematiske modeller som 12-toneteknikken er riktignok mekaniske, men som han sier kan musikk bli mekanisk i alle systemer ikke minst tonaliteten (ibid: 132). 12-toneteknikken er et hjelpemiddel. Et middel for å nå et mål. Cross (2003: 133-137), viser eksempler på hvordan både Arnold Schønberg, og hans elever Alban Berg og Anton Webern bruker 12-toneteknikken i komposisjoner.

    12-toneteknikken er et eksempel på hvor viktig innføringen av den tempererte skalaen er for musikkens utvikling. 12-tonerekka ville vært meningsløs i en renstemt eller pytagoreisk skala, siden det strengt talt ikke er 12 halvtrinn i en slik skala. En Ab vil ikke være enharmonisk med en G#. Tempereringen av skalaen “løser dette problemet”, og gir muligheten for atonal musikk.

    Serialismen er en på mange måter en videreføring av dette. Særlig Weberns musikk ble sett på som en modell for senere komponister i denne retningen (Cross 2003: 136). I serialisme, eller det Paul Griffiths (2007) omtaler som “total serialism”, skal ikke bare tonene organiseres i rekker, men også andre musikalske elementer som tonenes varighet, styrkegrad og anslag.

    Som et eksempel på et serialistisk stykke der mer enn bare tonehøyder er organisert i serier kan jeg nevne Messians mode des valeurs et d’intensite’s fra 4 etudes des rythme. Her har han organisert følgende rekker: 36 tonehøyder, 24 varigheter, 12 styrkegrader og 7 anslagsmåter. Merk at disse rekkene danner grunnlag for en fri komposisjonsteknikk med elementene (Nesheim 2004: 345). Jeg vil se litt på lengden på de forskjellige rekkene Messian opererer med her. Siden 12 går opp i 24, vil ikke disse rekkene opp mot hverandre lage noe særlig “spenning”. Forutsatt at hver rekke gjentas uten variasjoner vil styrkegradsrekka bare gå 2 ganger for hver varighetsrekke. Likeledes er det med tonehøyderekka og styrkegradsrekka. 3 styrkegradsrekker= 1 tonehøyderekke. Derimot er anslagsrekka interessant. 7 er et primtall, og går ikke opp i 12 (og dermed ikke i 24 eller 36). Det vil si at det er først etter 7 runder med styrkegrader og 12 runder med anslagsmåter, at disse to rekkene samsvarer. Hva som er “bra og dårlig”, har jeg ingen formening om, men fra et matematisk ståsted er det verdt å merke seg at jo lavere felles divisor de forskjellige rekkene har, jo lenger tid tar det før de samsvarer igjen. F.eks vil en rekke på 3, mot en rekke på 4 måtte opp i 12 enheter, før de samsvarer igjen, siden 3 og 4 har 1 som felles divisor, mens en rekke på 4 mot en rekke på 6 vil også bare vare 12 slag, siden 4 og 6 har 2 som største felles divisor. For å finne ut når 2 eller flere rekker starter på nytt igjen samtidig, altså hvor lang tid det tar før vi er “tilbake til start”, må vi finne rekkenes minste felles multiplum. Dette er det minste tallet som er delelig med alle tallene vi “sammenlikner”. I vårt eksempel er 12 minste felles multiplum, siden det er det minste tallet som er delelig med både 3, 4 og 6.

Matematikken kjenner ingen grenser

Når det gjelder bruk av matematikken som verktøy for komposisjoner er det bare fantasien som setter grenser. Man kan ta nærmest hvilken som helst matematisk regel og oversette den til et tonesystem på en eller annen måte. Denne videoen viser tallet pi oversatt til skalatrinn i C-dur: http://www.youtube.com/watch?v=wPn4tgmU8ek
    Eystein Raude (2000: Kuriositeter), viser eksempler på både fibonaccitallene, det gyldne snitt og stokastiske prinsipper brukt i musikk.

Jeg har laget et eget eksempel, der jeg lager en tonerekke med utgangspunkt i de 12 første primtallene, og oversatt dette til skalatrinn. Jeg transponerer tonene inn til samme oktav. Primtall er ikke tilfeldige, men det er ikke noe system i hvor tett de kommer, følgelig er det vanskelig å på forhånd anslå noe system i tonene. de 12 første primtallene er følgende: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37. Jeg har 2 variasjoner. I den første har jeg tatt utgangspuntk i C-durskalaen med C som 1. trinn. I det andre har jeg tatt utgangspunkt i den kromatiske skalaen med C som 1. trinn. Resultatene er som følger:

C-dur

C-kromatisk

Hvis vi ser på rekkene gir de 2 forskjellige resultater. Likheten med begge er at de er objektive utfra de reglene jeg har satt. Men hvordan jeg bruker dem i en eventuell komposisjon er min frihet. Naturlig nok gir rekken med alle 12-tonene som mulighet et mer atonalt preg siden det er flere toner involvert. Likevel er det interessant å se at i den kromatiske rekken dukker det opp noen systemer. Både tone 3-4-5 og 7-8-9 gir oss motivet e-f#-a#. Vi finner dessuten både tonen e og tonen f# tre ganger hver blant disse 12 tonene. De utgjør med andre ord halvparten av alle tonene, og et musikkstykke basert på denne rekken vil naturlig ha disse som logiske tonale sentre.

    Rekken basert på C-dur har færre mulige toner å involvere, og vil følgelig oppleves mer “tonal”. Hele melodien gir egentlig en følelse av D som grunntone. Særlig siste takt gir dette inntrykket.

    Bruken av slike objektive matematiske formler trenger ikke være en begrensning for kreativitet. Derimot kan de være en trigger som setter oss i gang, og gir oss noen trygge rammer å jobbe innenfor.