Matematiske komposisjonsteknikker

 

I L-97 var arrangering og komponering et obligatorisk 3klassefag på musikklinja. Med LK-06, er strukturen på musikkfagene forandret. Komponering er nå et av hovedområdene i 5-timersfaget “musikkfordypning” (Internettkilde 7: hovedområder), som elevene har både i 2. klasse og 3. klasse. Musikkfordypning er et valgfag, men jeg kommer til å behandle det på lik linje som de obligatoriske fagene. I en av musikklassene jeg var i praksis i skoleåret 2012/2013, valgte alle elevene dette faget. Om komposisjon sier læreplanen følgende: “Hovedområdet omfatter teknikker for harmonisering, arrangering og komponering (Internettkilde 7: Hovedområder).” Et av kompetansemålene for musikkfordypning 2 er å “lage komposisjoner i ulik stil og med ulik karakter (Internettkilde 7: kompetanesmål).” Ingen av disse argumentene tilsier at elevene må lære matematiske komposisjonsteknikker, men det utelukkes heller ikke. Som lærer har man valget. Det står heller ikke noe om matematikk knyttet til komposisjon under grunnleggende ferdigheter. Forøvrig kritiserer jeg regning i musikkfordypning i mitt pedagogiske motstykke til denne oppgaven (Stensholt 2013: 15-16).

Hittil har jeg sett på matematikk som finnes i musikk uavhengig av komponisters intensjon. Med det mener jeg at musikken har link til matematikken fordi musikkens grunnelementer i sannhet er gjennomsyret av matematikk, og ikke fordi komponisten har valgt å inkludere matematikk. I dette kapittelet vil vi i stor grad se hvordan matematikken kan brukes som et hjelpemiddel og verktøy for å skape musikk. Jeg har tidligere uttrykt at dette er særlig utbredt på 1900tallet og frem til i dag. Vi kan se det i Schønbergs 12-toneteknikk som ble utviklet videre til full serialisme blant annet. At atonaliteten oppsto på 1900tallet er ikke overraskende. Hvis vi ser på utviklingen i musikken de siste 1000årene, er det tydelig at dissonanser og kromatikk stadig fikk større innpass. For Pythagoras var det kun oktav, kvint og kvart som var konsonerende. For Kepler var tersen og seksten også i denne bolken. Jonathan Cross (2003: 132), skriver at tonaliteten hadde utspilt sin rolle, og kunne ikke lenger ramme den ekstreme bruken av kromatikk og dissonans som hadde oppstått i senromantikken. Dissonansen måtte bli frigjort.

    Cross (Ibid: 132), skriver videre om problemet komponistene på 1900tallet fikk tonalitetens ramme ikke lenger var der. Og løsningen fant mange i matematikken. Schønberg fant den gjennom sin 12-toneteknikk, og skal selv ha sagt at “In music there is no form without logic, there is no logic without unity (Cross 2003: 132).” Jeg kommer tilbake til dette i slutten av kapittelet, men først vil jeg vise at å ta matematikken til hjelp er ikke noe nytt fenomen.

Guidos Metode

Kapittel 9 i boka Musimatics Vol. 1, handler om komposisjon. Garreth Loy (2006: 285-288), åpner kapittelet med å presentere det han kaller “Guido’s Method”. Loy skriver at Guido d’Arezzo utviklet rund år 1026 en måte å lære komponere,  som i hans tid betydde å sette melodi til Latinske tekster.  Loy skriver at denne metoden la grunnlage for objektiv komposisjon. Med det mener han bruk av en naturalistisk (objektiv) prosess i komposisjon. Loy (2006: 286), skriver forøvrig at metoden var en viktig kilde til utviklingen av organumstilen. Om denne metoden var tenkt som faktisk en metode for å komponere musikk, eller om det var et didaktisk hjelpemiddel er usikkert (ibid: 286). Uansett er metoden interessant, og den fungerer som følgende:

    Først setter man opp en liste med tonene i skalaen over 2 oktaver, og setter den opp mot en liste med de latinske vokalene ieaåo. Så setter man disse opp mot hverandre. Vi har 5 vokaler, som skal knyttes til 15 toner. Følgelig får hver vokal 3 toner knyttet til hverandre:

Komponisten har nå et objektivt grunnlag, der den latinske teksten avgjør hvilke toner som oppstår. Men komponisten har også et valg. For hver vokal finne det 3 tilhørende toner. Derav har komponisten 3 valg. For en tekst med 2 vokaler, vil vi ha 3*3 mulige melodikombinasjoner. Har teksten 4 vokaler, er det hele 3^4=81 mulige melodier. Med andre ord oppstår det fort mange muligheter selv i et tilsynelatende låst system. Hvis man likevel syns systemet var for begrenset, foreslo Guido at man kunne legge til en ekstra linje med vokaler under den opprinnelige, men la de starte et annet sted. Et viktig poeng er uansett, at denne metoden skal kun være grunnlaget og et hjelpemiddel. “Guido suggested that by selecting only the best excerpts from several attempts, composers could obtain a composition perfectly adapted to the text and meeting the requirements of good compositional practice (Loy 2006: 287).” Matematikken er altså en vei til målet, ikke selve målet. Dette vil vi se gjenspeilet hos 1900-tallskomponistene.

Avbildninger i musikken

Avbildninger er et virkemiddel brukes av 1900tallskomponister, men vi finner det i så og si all musikk i en eller annen form. Jeg skal her se på hva avbildninger er rent generelt, for så å oversette det til musikalsk språk. For å forstå denne overgangen er det lurt å tenke seg notesystemet som et 2dimensjonalt koordinatsystem der y-aksen representerer tonehøyde, og x-aksen representerer tid. Hvis vi tenker oss et normalt koordinatsystem der x er tid og y er tonehøyde, vil hver akse representere en kontinuerlig strøm av punkter. Alle frekvenser vil være mulig å finne på y-aksen, og alle mulige tidsenheter på x-aksen. Likevel er disse rammet inn av konkrete punkter, utfra hvilke parametere vi har satt på aksene. Et skritt på y-aksen kan for eksempel representere en oktav, og et skritt på x-aksen en firedel. Dette kan lett oversettes til et notesystem.Vi har en vertikal akse for tonehøyde, og en horisontal akse for tid. Selvom både tonehøyde og tid er kontinuerlige faktorer, er tonehøydeaksen begrenset til en minsteverdi, halvtonen. Tidsaksen er litt mer fri, men i praksis vil noteverdiene begrense denne til faste punkter, og ikke en kontinuerlig strøm. Min konklusjon er at et notesystem er et “begrenset koordinatsystem”, men i vår sammenheng kan det behandles likt.

Reinert A. Rinvold (2009:67) beskriver avbildninger som bevegelsens matematikk. Derfor er det kanskje passende at det er nettopp avbildninger vi skal se på i musikken, da musikk på mange måter er bevegelseskunst.

    “En avbildning er en forskrift som til ethvert punkt P i planet tilordner et punkt P’.”(Breiteig og Venheim 2005: 299). Det vil si at en avbildning flytter samtlige punkter i planet til en entydig ny posisjon. Hvis et punkt avbildes på seg selv, altså blir værende der det er før og etter avbildingen, kalles det et fikspunkt (Ibid: 305). En avbildning kan for eksempel være at alle punkter dobler eller halverer avstanden til origo. I dette tilfellet vil origo være et fikspunkt.  Et annet kan være at vi ignorerer alle y-koordinatene, og kun beholder x-koordinatene. Dette vil medføre at alle punkter med samme x-koordinat vil avbildes på samme punkt, og alle punktene på x-aksen vil være fikspunkter.

        I praksis betyr dette at vi bruker en matematisk regel til å gjøre en forandring med en figur, eller i vår sammenheng en musikalsk figur. Et eksempel kan foreksempel å doble tidsfaktoren. I praksis vil dette si at alle noteverdiene av et tema blir augmentert/forlenget (musikalsk eksempel i The lamb):

Originalfigur

Augmentert figur

En spesiell form for avbildninger, som kanskje er de avbildningene folk flest forbinder med fenomenet, er isometrier eller kongruensavbildninger. Disse avbildningene beholder alle avstandene i innad i figuren som avbildes (Breiteig og Venheim 2005: 299). I planet har vi 4 isometrier. Som Breiteig og Venheim definerer på følgende måte:

    a En speiling om ei linje l er slik at et vilkårlig punkt P avbildes på P’ slik at P’ kommer like langt som P fra l, men på motsatt side. Dessuten står linja PP’ vinkelrett på l. En speiling er bestemt ved ei linje - speilingslinja.

b En rotasjon en vinkel v om et punkt O er slik at et vilkårlig punkt P avbildes på  P’ slik at PO = P’O og vinkel-POP’=v. En rotasjon er bestemt ved et punkt - rotasjonssenteret - og en vinkel - rotasjonsvinkelen.

c En parallellforskyvning avbilder et vilkårlig punkt P på P’ slik at PP’ er parallell med og like lang som et gitt linjestykke UV. Dessuten har PP’ og UV samme retning. En parallellforskyvning er bestemt ved en vektor - ei pil, et linjestykke med retning.

d Når vi setter sammen en parallellforskyvning og en speiling der parallellforskyvningsvektoren  UV er parallell med speilingslinja l, får vi en glidespeiling.  (Ibid: 300)

Eystein Raude (2000: Melodien), ser på avbildninger musikalsk. Han bruker imidlertid funksjoner for å forklare dette matematisk. Jeg syns dette er et unødvendig vanskelig bilde, og vil heller bruke vektorbildet. I denne sammenheng trenger vi ikke en videre forståelse enn at en vektor er en pil med retning og lengde, som i vår sammenheng representerer en forflytning.

        En parallellforskyving er kanskje det fenomenet som er lettest å forstå musikalsk sett, da melodien blir værende som er, bare flyttet et annet sted. De  enkleste formene for parallellforskyvning er parallelt med x-aksen, som musikalsk sett betyr at en melodisnutt repeteres, og parallelt med y-aksen som vil si at melodisnutten transponeres. Parallellforskyvning i y-retning kan tolkes på 2 måter. Det kan være hele melodien transponeres til en ny toneart, slik vi med forsdomsfulle øyne kan påstå samtlige grand prix-låter er eksempel på. Imidlertid kan vi også oppfatte det som at vi legger på en annenstemme til melodien i en konstant avstand.

I dette eksempelet er den øverste stemmen en parallellforskyvning av den nederste, en ters opp. Vi kan legge merke til at avstanden mellom stemmene ikke er konstant, men tilpasses skalaen. Dette er fordi melodien er tilpasset skalaen. Vi har her en diatonisk forskyvning, som er en vanlig teknikk. Legg også merke til at takt 3, egentlig også er en parallellforskyvning av takt 1. Men her er den ikke bare forflyttet i x-retning men også i y-retning. En forflytning både i tid, er det vi kjenner som sekvensering. Denne teknikken er blant annet vanlig i barokken. Det kan være snakk om imitasjon mellom stemmegruppe, eller innad i en melodistemme. Jeg øver for tiden til en allehelgenskonsert med Tønsberg domkor der jeg synger. Vi skal synge 3 barokkverker. 2 av Bach, og 1 av Teleman. Alle har flere eksempler på både imitasjon og sekvensering. Her er to eksempler:

Her kan vi se et lengre motiv i tenorstemmen, som egentlig er bygd opp av 4 16-deler som flyttes en sekund opp for hver nye runde. Merk også at i de 2 første slagene i 2. takt imiterer altene tenorstemmen. De synger den bare en ters lysere.

I dette eksempelet presenteres først et tema i bassen, som så imiteres av tenorstemmen men flyttet en kvint lysere.   

Speilinger og rotasjoner er litt mer avansert, men vi finner mange eksempler på dette også. De avbildningene vi i praksis finner er speiling om en vertikal eller horisontal akse, eller rotasjoner på 180 grader, som forøvrig er entydig med å først speile om en horistontal akse, og så om en vertikal akse. Disse teknikkene finner vi brukt mye i 12-toneteknikken, der en speiling om en vertikal akse kalles for retrograd eller kreps, mens en speiling om en horisontal akse kalles omvending eller inversjon. En rotasjon på 180-grader vil være en omvendt kreps, eller invertert retrograd.
        Musikalsk kan dette gjøre seg gjeldende på enten tonehøyde, rytme eller begge deler. Wilfrid Hodges (2003: 100-104), viser til flere melodisnutter som har enten speilsymmetri eller rotasjonssymmetri, og hvor følgelig siste delen av melodien kan oppfattes som en avbildning av første delen.

Et eksempel på speilsymmetri om en vertikal akse, der vi ikke tar hensyn til tonenes lengde, men kun høyde har han hentet fra Hallelujakoret:

Han viser også et interessant eksempel på rotasjonssymmetri (Ibid: 104) hos Rimsky-Korsakiv. I operaen The golden cockerel (direkte oversatt fra engelsk: Den gyldne hane), er handlingen spunnet rundt en magisk fugl som synger 2 sanger. En når det er fare, og en når det er fred. Temaet for fred kan sees som en rotasjon av temaet for fare:

Se kapittel XL for et lengre eksempel på hvordan avbildninger kan brukes aktivt i musikken.

1900-tallets komposisjonsformer

At matematiske komposisjonsteknikker er en viktig del av musikken på 1900-tallet ble jeg bevisst da jeg tok faget “aktuell musikkvitenskap”, der vi så på musikken etter 1945. Ved en gjennomlesning av det Erling Guldbrandsen (2012 a, 2012b, 2012c, 2012d) skriver om vestens kunstmusikk fra 1945 til i dag, fant jeg nok innfallsvinkler til at dette alene kunne vært en masteroppgave. Han skriver blant annet at “komponistene [etter krigen] fant opp stadig nye strukturer og teknikker, gjerne basert på matematiske skjemaer og systemer(Gulbrandsen 2012a: 285).” Fordi dette er så omfattende, kommer jeg til å konsentrere meg om noen få ting, og ignorere resten. Jonathan Cross (2003: 131-146) viser til noen komponister på 1900tallet, som bruker matematikken som hjelpemiddel. Han viser blant annet til Peter Maxwell Davies, og hvordan han bruker magiske kvadrater til hjelp, samt Iannis Xenakis som finner en link mellom arkitektur og musikk.

        Et annet interessant tema som ikke blir gjennomgått her men som må nevnes er den elektroniske musikken fra siste halvdel av 1900tallet. Paul Griffiths (2006: 230) skriver at: “A great deal in music since 1945 seems to have been leaning towards cybernetics: the idea of music as sounding numbers, the importance of rules and algorithms in composition,” Karlheinz Stockhausen er et eksempel på en komponist som har gjort mye elektronisk musikk.

Jeg vil imidlertid nøye meg med å se litt på Arnold Schønbergs 12-toneteknikk, og litt på total serialisme. Som jeg skrev var dette på mange måter Schønberg sin “redning” når han mistet tonalitetens trygge grunn. Paul Griffiths (2007), skriver at I 12toneteknikk (eller 12-note serialism), er serien en organisering av de 12-notene i den tempererte kromatiske skalaen. I en skala er det kun hvilke toner som er inkludert som har noe å si. I en 12-tonerekke som på mange måter kan sees som en erstatning for skalaen er alle tonene involvert. Følgelig er det rekkefølgen på dem som har noe å si. Man skal i prinsippet være innom alle de 12 tonene i rekka før man starter på nytt igjen, men vi aksepterer oktavekvivalens, og følgelig kan tonene plasseres så lyst eller mørkt som man ønsker.  

12-tonerekka på bildet lagde en musikklasse der jeg var i praksis våren 2012. Måten vi lagde den på var ved fritt valg. Jeg lot en elev velge en tone, neste elev valgte neste tone osv. Eneste kravet var at tonen de valgte ikke var brukt før, og vi endte opp med denne 12-tonerekken. På denne måten har man 12!=479001600 mulige utfall/rekker. Foreløpig virker ikke 12-tonerekken veldig matematisk bortsett fra at det er et ordnet system man bruker. Derimot er det de teknikkene Schønberg brukte på grunnrekka matematiske. En rekke danner nemlig grunnlag for 48 variasjoner. Den kan nemlig omvendes (En speiling om en horisontal linje, gjennom første tone, som medfører at alle intervallene snus på hodet), krepses (En speiling om y-aksen, som medfører at rekken spilles baklengs), eller omvendtkrepses (Kombinasjon av omvending og kreps, noe som tilsvarer en rotasjon på 180 grader). Her er musikklassens 12-tonerekke i alle former. Jeg flytter 5. tone opp en oktav slik at rekkens omfang ikke overstiger oktaven.

Originalform

Omvending

Kreps

Omvendt Kreps

I tillegg til dette kan hver av disse 4 rekkene transponeres til 12 ulike starttoner.
Dette systemet er blitt kritisert for å mangle inspirasjon, og kun være mekanisk (Cross 2003: 132). Men Cross påpeker videre at dette er et misforstått syn. Noe musikk skrevet etter matematiske modeller som 12-toneteknikken er riktignok mekaniske, men som han sier kan musikk bli mekanisk i alle systemer ikke minst tonaliteten (ibid: 132). 12-toneteknikken er et hjelpemiddel. Et middel for å nå et mål. Cross (2003: 133-137), viser eksempler på hvordan både Arnold Schønberg, og hans elever Alban Berg og Anton Webern bruker 12-toneteknikken i komposisjoner.

    12-toneteknikken er et eksempel på hvor viktig innføringen av den tempererte skalaen er for musikkens utvikling. 12-tonerekka ville vært meningsløs i en renstemt eller pytagoreisk skala, siden det strengt talt ikke er 12 halvtrinn i en slik skala. En Ab vil ikke være enharmonisk med en G#. Tempereringen av skalaen “løser dette problemet”, og gir muligheten for atonal musikk.

    Serialismen er en på mange måter en videreføring av dette. Særlig Weberns musikk ble sett på som en modell for senere komponister i denne retningen (Cross 2003: 136). I serialisme, eller det Paul Griffiths (2007) omtaler som “total serialism”, skal ikke bare tonene organiseres i rekker, men også andre musikalske elementer som tonenes varighet, styrkegrad og anslag.

    Som et eksempel på et serialistisk stykke der mer enn bare tonehøyder er organisert i serier kan jeg nevne Messians mode des valeurs et d’intensite’s fra 4 etudes des rythme. Her har han organisert følgende rekker: 36 tonehøyder, 24 varigheter, 12 styrkegrader og 7 anslagsmåter. Merk at disse rekkene danner grunnlag for en fri komposisjonsteknikk med elementene (Nesheim 2004: 345). Jeg vil se litt på lengden på de forskjellige rekkene Messian opererer med her. Siden 12 går opp i 24, vil ikke disse rekkene opp mot hverandre lage noe særlig “spenning”. Forutsatt at hver rekke gjentas uten variasjoner vil styrkegradsrekka bare gå 2 ganger for hver varighetsrekke. Likeledes er det med tonehøyderekka og styrkegradsrekka. 3 styrkegradsrekker= 1 tonehøyderekke. Derimot er anslagsrekka interessant. 7 er et primtall, og går ikke opp i 12 (og dermed ikke i 24 eller 36). Det vil si at det er først etter 7 runder med styrkegrader og 12 runder med anslagsmåter, at disse to rekkene samsvarer. Hva som er “bra og dårlig”, har jeg ingen formening om, men fra et matematisk ståsted er det verdt å merke seg at jo lavere felles divisor de forskjellige rekkene har, jo lenger tid tar det før de samsvarer igjen. F.eks vil en rekke på 3, mot en rekke på 4 måtte opp i 12 enheter, før de samsvarer igjen, siden 3 og 4 har 1 som felles divisor, mens en rekke på 4 mot en rekke på 6 vil også bare vare 12 slag, siden 4 og 6 har 2 som største felles divisor. For å finne ut når 2 eller flere rekker starter på nytt igjen samtidig, altså hvor lang tid det tar før vi er “tilbake til start”, må vi finne rekkenes minste felles multiplum. Dette er det minste tallet som er delelig med alle tallene vi “sammenlikner”. I vårt eksempel er 12 minste felles multiplum, siden det er det minste tallet som er delelig med både 3, 4 og 6.

Matematikken kjenner ingen grenser

Når det gjelder bruk av matematikken som verktøy for komposisjoner er det bare fantasien som setter grenser. Man kan ta nærmest hvilken som helst matematisk regel og oversette den til et tonesystem på en eller annen måte. Denne videoen viser tallet pi oversatt til skalatrinn i C-dur: http://www.youtube.com/watch?v=wPn4tgmU8ek
    Eystein Raude (2000: Kuriositeter), viser eksempler på både fibonaccitallene, det gyldne snitt og stokastiske prinsipper brukt i musikk.

Jeg har laget et eget eksempel, der jeg lager en tonerekke med utgangspunkt i de 12 første primtallene, og oversatt dette til skalatrinn. Jeg transponerer tonene inn til samme oktav. Primtall er ikke tilfeldige, men det er ikke noe system i hvor tett de kommer, følgelig er det vanskelig å på forhånd anslå noe system i tonene. de 12 første primtallene er følgende: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37. Jeg har 2 variasjoner. I den første har jeg tatt utgangspuntk i C-durskalaen med C som 1. trinn. I det andre har jeg tatt utgangspunkt i den kromatiske skalaen med C som 1. trinn. Resultatene er som følger:

C-dur

C-kromatisk

Hvis vi ser på rekkene gir de 2 forskjellige resultater. Likheten med begge er at de er objektive utfra de reglene jeg har satt. Men hvordan jeg bruker dem i en eventuell komposisjon er min frihet. Naturlig nok gir rekken med alle 12-tonene som mulighet et mer atonalt preg siden det er flere toner involvert. Likevel er det interessant å se at i den kromatiske rekken dukker det opp noen systemer. Både tone 3-4-5 og 7-8-9 gir oss motivet e-f#-a#. Vi finner dessuten både tonen e og tonen f# tre ganger hver blant disse 12 tonene. De utgjør med andre ord halvparten av alle tonene, og et musikkstykke basert på denne rekken vil naturlig ha disse som logiske tonale sentre.

    Rekken basert på C-dur har færre mulige toner å involvere, og vil følgelig oppleves mer “tonal”. Hele melodien gir egentlig en følelse av D som grunntone. Særlig siste takt gir dette inntrykket.

    Bruken av slike objektive matematiske formler trenger ikke være en begrensning for kreativitet. Derimot kan de være en trigger som setter oss i gang, og gir oss noen trygge rammer å jobbe innenfor.

Stemming av skalaen

 

I så og si alle bøker jeg har lest om musikk og matematikk er stemming av skalaen et tema. Med utgangspuntk i læreplanen for videregående kunne det kanskje vært naturlig å trekke frem lyttefaget igjen, siden en skala lett kan tolkes som et grunnelement i musikken. Et annet fag som kanskje er enda mer naturlig å trekke frem er “Anvendt musikklære”, som er et av hovedområdene i det noe mer omfattende faget Musikk. Dette er et Vg1-fag som i tillegg til anvendt musikklære, består av hovedområdene hovedinstrument, biinstrument og samspill (Internettkilde 6: Hovedområder). Under fagets kompetansemål kan vi lese at eleven skal kunne  “gjenkjenne og bruke skalaer og tonearter og spille/synge innenfor dem (Internettkilde 6: Kompetansemål).” Om det er matnyttig å lære elevene den matematiske oppbygningen av en skala er en pedagogisk diskusjon som går utover denne oppgavens rammer, men jeg vil tro at i mange klasser vil det være nok å lære dem forskjellen på dur og moll. Imidlertid ser jeg på det som veldig nyttig for en lærer å ha et bevisst forhold til dette. På den måten har man mulighet til å gi ordentlige svar på spørsmål som “hva er temperering?”, “Hvorfor er det akkurat 12 toner innen oktaven?”, og “hvordan ble skalaen til?”.

Hva er en skala, og hva er dens grunnelementer?

Garreth Loy (2006: 16) skriver at en musialsk skala er et ordnet sett av tonehøyder, sammen med en formel for å spesifisere deres frekvenser. Hver tonehøyde i skalaen har sitt navn, og sitt forholdstall til grunntonen. Loy (2006: 41) skriver at for å konstruere en likesvevende temperert skala må vi 1: Knytte den til en referansefrekvens, f.eks A440hz (vår kammertone), 2. Navngi intervallene i skalaen, 3. Kalkulere frekvensen til intervallene utfra referansefrekvensen. Denne fremgangsmåten gjelder forøvrig alle skalaer, ikke bare den tempererte. På en måte er den tempererte skalaen enklere å beregne da det kun tar utgangspunkt i et tallforhold for halvtonetrinnet, men både pytagoreisk skala, og renstemt skala som vi skal se på, tar utgangspunkt i samme prinsippet.

    Et poeng jeg vil trekke frem her er viktigheten av en referansetone. Siden opplevd tonehøyde handler om forholdene mellom frekvensene, går det fint an å konstruere en teoretisk skala uten å si noe som helst om tonenes faktiske frekvens. F.eks kan jeg si at en skala består av tonene C, F, G og c, der F ligger en ren kvart over C (4:3), G en Ren kvint over C (3:2), og c en oktav over (2:1). Denne oppskriften er entydig, men sier ingenting om hvor lyst eller mørkt skalaen er stemt. Først når jeg definerer en frekvens, f.eks kan jeg si at C har frekvensen 132hz, blir alle tonehøydene entydig bestemt. Akkurat samme prinsippet gjelder vårt tonesystem. Det vi opplever som en c er en entydig tonehøyde, det forteller ikke annet enn at tonen ligger en liten ters over kammertonen a, som vi har definert som 440hz.

    I det øyeblikket vi omdefinerer referansetonen, vil alle andre toner tilpasses likeledes. Det alternativet jeg selv er mest vant til er å synge barokkmusikk med A415hz, som referansefrekvens. Dette tilsvarer at alle tonene ligger ca et halvt trinn dypere enn vi er vant til med 440hz som referansefrekvens. Men tonehøyden har variert mer enn dette. Garreth Loy (2006: 42), skriver at frekvensen til A har hatt et omfang fra 312hz, brukt i et 1600talls kirkeorgel, til 464hz som ble bruk av noen britiske militærkorps ved slutten av 1800tallet. Dette er et stort omfang. 312:464 kan forkortes til 39:58=0,6724.. som ikke ligger langt unna en kvint. Å standardisere kammertonen A440 ble forsøkt på en kongress i Stuttgard i 1834, men det var først i 1939 at den ble adopert som en verdensomspennende kammertone (Loy 2006:42).

    Det finnes et stort antall skalaer, og antall toner i en skala varierer mye. Våre vanligste skalaer dur og moll, er diatoniske med 7 toner innen en oktav, men vi har pentatone skalaer med 5 toner, den kromatiske skalaen har 12 toner og er følgelig en dodekafonisk skala (Loy 2006:46), og en heltoneskala har 6 toner innen oktaven for å nevne noen. Likheten med alle eksemplene er imidlertid at de har oktav som rammeintervall. Neil Bibby (2003: 14) skriver at forholdet 2:1, altså to noter i oktavavstand er basisen for konstroksujonen av en hver muskalsk skala. Garreth Loy (2006: 16) er ikke fullt så bastand, og skriver at de fleste musikalske tradisjoner har annerkjent viktigheten av primen og oktaven ved å organisere skalaen rundt disse som ramme. Han skriver videre at man definerer gjerne skalaens tonehøyder kun innen en oktav, med en underliggende forståelse av tonene kan transponeres til hvilken som helst oktav på grunn av det han kaller for “octave equivalence”. Loy (2006: 14), skriver at hvis identitet br at 2 tonehøyder klinger likt (prim), betyr ekvivalens at vi kan skille dem, men det tjener samme musikalske formål likeverdig, og i praktisk talt all musikalsk kultur tjener toner som kun skilles med x-antall oktaver samme musialske funksjon. En banal måte å si dette på er at “toner i oktaver er samme toner, bare at de klinger lysere/mørkere”. På grunn av dette skriver Loy (2006: 86-87) at praktisk talt alle skalaer er basert på oktaven som referanseramme. Selv med den andre Wienerskolens brudd på tonaliteten, eller med mikrotonaliteten som dekonstruerte halvtonetrinnet forble oktaven hellig (Ibid: 86). Imidlertid er det ingen teoretisk begrensning for å konstruere skalaer med andre rammeintervaller enn oktaven. Loy (2006: 87-93) viser til “The Bohlen-Pierce Scale” som et eksemple på dette. Det som er viktig å ta med seg i en undervisningssammenheng er imidlertid ikke at man teoretisk kan lage skalaer med andre rammeintervaller, men hvorfor oktaven i praksis alltid er rammen for en skala.

Skalaens opprinnelse. Sir James Jeans tanker (Mulig jeg utelater dette kapittelet)

Sir James Jeans (1968: 160-165), tilnærmer seg hvordan de første organiseringene av tonehøyder kan ha oppstått. Han viser til at musikk i en eller annen form har eksistert siden menneskehetens barndom, og at at for 5000 år siden hadde man allerede gått fra nytelsen av en enkelttone, til flere påfølgende toner (en melodi). Dette er blant annet basert på en utgraving av en 11strengs lyre og et gammelt egyptisk maleri fra ca 2750 før kristus (ibid: 160).

    Han skriver videre at tidlig musikk var unison, men på et eller annet punkt må ideen om å synge flere toner samtidig ha oppstått. Før dette var ikke organisering av tonehøyder like viktig, for de klang aldri sammen. Jeans kan ikke referere til flerstemmighet i komposisjoner her, for i musikkhistorien begynner ikke dette å florere før nærmere år 1000. Elef Nesheim (2004: 18-19) viser til avhandlingen Musica Enchiradis fra slutten av 800-tallet som en tidlig kilde på flerstemminghet, og stemming av skalaen er mye eldre enn dette. Derimot kan dette forståes som utvidelse av faste toner i stemmingen av et strengeinstrument, f.eks en lyre. Jeans (1968: 162-163) tenker videre at inføring av kvinten er det neste etter oktaven, og som en følge kvarten. Med oktaven som ramme kan vi gå en kvint opp fra grunntonen, og en kvint ned fra oktaven. Med C som grunntone får vi d tonene Cfgc. Ideen nå er at kvintintervallet klinger konsonerende. Med disse 4 tonene har man muligheten til å la C klinge sammen med både f og g, altså to toner. Hvis man tar utgangpunkt i g kan derimot denne bare klinge med en tone, siden C og c er samme tone bare i oktaver. Jeans (1968: 162) tenker seg at “vår pioneer vil utvide mulighetene med å introdusere g-ens kvint d”. Vi har nå gitt g samme muligheter som c hadde opprinnelig, men nå har tonen d, det samme “problemet” som g hadde i stad. for å løse dette kan man introdusere den nye tonen a, som er kvint til d. Dette systemet kan trekkes til det uendelige med innføring av stadig nye toner, for en summering av rene kvinter vil aldri bli lik en summering av oktaver. Spørsmålet er med andre ord hvor man skal stoppe i denne tilføyelsen av nye toner. At systemet aldri går rundt kan lett forklares matematisk.

Kvint har forholdet 3:2, mens oktaven har forholdet 2:1. Oktav+kvint, altså duodecimen har forholdet 3:1. Siden det er irrelevant hvilken oktav intervallet er i, kan vi like gjerne se på forholdet duodecim kontra oktav, siden dette involverer enda enklere matematikk. Hvis vi tar utgangspunkt i en felles grunnfrekvens F, vil vi ved å legge til oktaver få frekvenser som kan skrives på formen F*2^x, altså F ganget med 2 x antall ganger. hvis vi legger til duodecimer, vil vi få frekvener som kan skrives på formen F*3^y, altså F ganget med 3 y antall ganger. x og y er naturlige tall. Hvis disse to funksjonene skulle kunne møtes, vil det si at det må finnes som kans krives som 2*2*2*2*2 x antall ganger, og dessuten som 3*3*3*3*3 y antall ganger. Dette er en motsetning. Alle tall som skrives på formen 2^x, vil ha 2 som eneste primfaktor. Alle tall som skrives på formen 3^y vil ha 3 som eneste primfaktor. Det er ikke mulig for et tall å både ha 2 som eneste primfaktor, og 3 som eneste primfaktor samtidig. Følgelig kan ikke påstanden 2^x=3^y være sann.

Jeans (1968:163) påpeker at selve tankerekken hans er fiksjonell . Utviklingen har vært mye mindre lineær enn han har fremstillt det, men målet har nok vært det samme. Å velge toner som klinger konsonerende sammen (Se kapittel XZ). Og han skriver at selv om forskjellige kulturer voldsom variasjon i klær, språk livsstil osv, er utformingen av skalaen overraskende lik. Den er hvert fall bygd på de samme prinsippene (idib: 1964).

Pytagoreisk skala

Neil Bibby (2003: 14) skriver at den første skalaen som er beskrevet er den pytagoreiske. Dette systemet for å stemme skalaen er eldre enn Pythagoras, men den teoretiske tilnærmingen knyttes gjerne til Pytagoras.

    Denne skalaen tar utgangspunkt i de rene konsonerende intervallene oktav, kvint og kvart. Med å gå en kvint opp fra grunntonen, og en kvint ned fra oktvaven, får vi skalaens faste toner nemlig grunntone, kvart, kvint og oktav. Dette kan utrykkes med tallforholdene 6:8:9:12, hvis vi tenker tonehøyde. Med denne faste rammen oppstår det et nytt ikkekonsonerende intervall, nemlig tallforholdet 8:9 eller 9:8 som vi finner mellom kvarten og kvinten. Dette intervallet fikk betegnelsen “tonos”, som kan oversettes til tonetrinn (Sundberg 2002b: 111). Med våre faste intervaller har vi 2 tetrakordrammer, altså 2 kvartintervaller med en heltones avstand. Disse rammene ble så fyllt med heltonetrinn. Fra grunntonen til kvarten er det plass til 2 heltoner, pluss en liten rest, og tilsvarende fra kvinten til oktaven (Ibid: 112). Denne resten har tallforholdet 256:243. Den Pytagoreiske har følgende tallforhold til grunntonen og er en diatonisk skala, og selv om begrepet ikke ble brukt på den tiden, tilsvarer det var durskala:

Som vi kan se her har vi like store heltonetrinn, og halvtonetrinn. Imidlertid er det verdt å merke seg at durtersen er noe høyere enn den rene tersen vi finner hos Zarlino. Dette er en av grunnene til at den renstemte skalaen oppstod.

En annen tilnærming til den pytagoreiske skalaen som vil gi samme resultater å legge sammen kvinter, for så å trekke fra x-antall oktaver for å få alle tonene i samme oktav. Med utgangspunkt i tonen C, finner vi kvarten F med å gå en kvint ned. De resterende tonene finner vi med å gå kvinter opp fra C.

(Sett inn bildet Bibby 16)

En følge av dette, som er en fordel med pytagoreisk stemming er at alle de rene intervallene innen skalaen er faktisk rene. Med det mener jeg at alle kvinter har forholdet 3:2, og alle kvarter har forholdet 4:3. Som eksempel kan vi teste forholdet mellom tersen og seksten i skalaen, som skal være en ren kvart. 27:6/81:61=4:3 altså en ren kvart. Vi kan også teste kvintintervallet mellom tersen og septimen i skalaen. 243:128/81:64=3:2, altså er intervallet en ren kvint. Dette har sin forklaring i at skalaen faktisk er bygd opp av en stabling av kvinter. En ulempe med skalaen er derimot at den ikke er transponerbar, siden som forklart vil aldri en summering av kvinter være lik en summering av oktaver.

Den renstemte skalaen

Den renstemte skalaen “oppsto” i Renessansen. Giuseppe Zarlino publiserte i 1558 verket Institutioni harmoniche der han foreslo en alternativ stemming av durskalaen (Bibby 2003: 20). Hittil hadde den pytagoreiske stemmingen vært vanlig. En av “problemene” med den pytagoreiske skalaen, er som nevnt den noe høye durtersen. Tidlig musikk var i stor grad unison, men i renesansen ble musikken mer og mer flerstemt, og samklanger med terser og sekster ble vanligere (Ibid: 19-20). Som vi så i den historiske gjennomgangen mente Zarlino at terser og sekster måtte regnes som konsonanser.

    Denne “nye skalaen” som Zarlino foreslo var den renstemte, og den hadde følgende frekvenser i forhold til grunntonen:

*

Det som er verdt å merke seg, er at i denne skalaen samsvarer de innbyrdes intervallene med de vi finner i overtonerekka (Bibby 2003: 21). Det er også verdt å merke seg at alle skalatrinnene lar seg uttrykke med relativt enkle brøker. I hvert fall i forhold til den pytagoeriske skalaen. Leif Bjørn Skorpen (2003: 10), skriver at siden den renstemte skalaen samsvarer med overtonerekka er den “naturens egen skala”, og er den som bør klinge best i våre ører. Garreth Loy (2006: 72) skriver at “classical Hundistani and Arabic music is still firmly rooted in small integer ratio scales, and that music scintillates with a pleasurable harmonicity that has touched a deep longing in the western ear.” han skriver også at dette forklarer hvorfor bruken av slike stemminger  har blitt populære i vesten i nyere tid, og at symmetrien mellom overtonene og skalaene er særdeles tilfredsstillende (Ibid: 72).

    Garreth Loy (2006: 60) skriver at den renstemte skalaen tar utgangspunktet i durtreklangen som danner det innbyrdes forholdet 4:5:6. Den store tersen har forholdet 4:5, og den lille tersen har forholdet 5:6, som vi ser har kvinten forholdet 4:6=2:3, så den er fortsatt ren. Videre får vi en fin fremgangsmåte for å finne den renstemte durskalaen (ibid: 61-62):

Start med å velge grunntonen, her C (og oktaven, hvis frekvens er 2*C), og finn den store tersen E, som vil ha frekvensen (5:4)*C.

Finn så kvinten G, som vil ha frekvensen (6:4)*C=(3:2)*C

Finn kvarten F, ved å gå en kvint ned fra oktaven C2: 2*C*(2:3)=(4:3)*C. Kvarten er altså ren fortsatt, med frekvensen (4:3)*C  

Finn seksten A, ved å gå en stor ters opp fra kvarten F: (4:3)*C*(5:4)=(20:12)*C=(5:3)*C

Finn septimen H, ved å gå en stor ters opp fra kvinten G: (3:2)*C*(5:4)=(15:8)*C

Sekunden D, finner Loy ved å finne oktaven over D2. Dette gjør han ved å gå en liten ters opp fra septimen H: (15:8)*C*(6:5)=(90:40)*C=(9:4)*C. For å finne D, går vi en oktav ned fra D2, som vil være en halvering i frekvensen: (9:4)*C*(1:2)=(9:8)*C.

Vi sitter igjen med den renstemte skala, hvor alle hovedtreklangen er rene. Derimot, ser vi at dette kommer på bekostning av sekundene. Noen store sekunder har forholdet 9:8, mens andre har 10:9. En følge av dette er at denne skalaen heller ikke har den pytagoreiske skalaens fordel med at alle kvinter og kvarter er rene. Riktignok er de rene i forhold til grunntonen, men forholdet mellom sekunden og seksten som på notebildet ser ut som en kvint er 40:27, som er mindre enn en ren kvint. Dette kan vi lett se. C-G er en ren kvint. D ligger en stor heltone (9:8), over C, mens A ligger bare en liten heltone (10:9) over G. Dette er riktignok eneste kvinten jeg finner som uren. I likhet med den pytagoreiske skalaen er ikke den renstemte transponerende.

Både den pytagoreiske, og den renstemte skalaen vi har tatt utgangspunkt i tilsvarer vår durskala.  Men hva så med en renstemt mollskala? En naturlig tilnærming ville kanskje vært å tatt utgangspunkt i durskalaen vår, men latt 6.trinnet tilsvare 1. trinnet i vår mollskala. Vi vil i såfall med utgangspunkt i vår C-dur ha skapt en A-moll skala. Dette kan virke som en grei løsning, men vi har et problem. Nemlig intervallet D-A, som nå hører til i en av hovedtreklangene i vår nye mollskala nemlig subdominanten, og er ikke en ren kvint. Garreth Loy (2006: 62-63) foreslår en annen tilnærming. Den renstemte durskalaen tar utgangspunkt i durtreklangen som består av en stor ters (5:4), og en liten ters (6:5), samt de faste tonene fra den pytagoreiske skalaen: kvinten og kvarten. En naturlig konstruksjon av en renstemt mollskala vil følgelig være å ta utgangspunkt i kvinten og kvarten, men bruke en molltreklang som utgangspunkt istedet for en durtreklang. Ved å konstruere molltreklanger fra grunntonen, kvinten og kvarten får vi en renstemt mollskala. Molltreklangen kan uttrykkes med tallforholdet 10:12:15, og en renstemt mollskala har følgende tallforhold:

A    H    C    D    E    F    G    A

1/1    9/8    6/5    4/3    3/2    8/5    9/5    2/1    Forhold til grunntonen

    9/8         16/15    10/9     9/8         16/15    9/8           10/9    Forhold mellom påfølgende toner

Den renstemte mollskalaen gir oss ikke noen nye intervaller i forhold til den renstemte durskalaen. Liten sekst, liten septim og liten ters er riktignok ikke intervaller vi finner i forhold til grunntonen, men vi finner dem alle i forhold til oktaven i den renstemte skalaen.

Transponeringsproblemet

Som vist har hverken den renstemte skalaen, eller den pytagoreiske skalaen muligheten for transponering. Kort sagt ligger forklaringen i at med en pytagoreisk m

Likesvevende temperering

Løsningen på tempereringsproblemet ble det vi bruker i dag, og som kalles likesvevende temperering. I dette systemet tar vi utgangspunkt i at alle halvtonetrinn skal være like store. Oktaven inneholder 12 halvtonetrinn, og følgelig må forholdstallet til halvtonen være det tallet som ganget med seg selv 12 ganger gir tallet 2. Dette tallet er 2^1/12, som er et irrasjonelt tall tilnærmet lik 1,0594631. Siden alle halvtonetrinnene nå er like store, vil alle tonearter ha de samme tallforholdene.

    Innføring av likesvevende temperering tok lang tid. Ideen om å definere haltonen som 2^½ ble alt foreslått av Simon Stevin (1548-1620) (Bibby 2003: 25). På tidlig 1700tall ble dette systemet i større grad utnyttet, men langt utpå 1800tallet var ikke dette systemet blitt universelt ennå (Og det er det forsåvidt ikke i dag heller) (Ibid: 27), England er særlig et eksempel på sen innføring der ingen av kirkeorgelene var temperert i 1851 (Ibid: 27).

    Likesvevende temperering har den fordelen at alle tonearter har samme forholdstall, og det medfører at dette er en veldig anvennlig stemming. En følge er at vi faktisk bare har 12 halvtoner innen oktaven med dette systemet, C#=Db D#=Eb osv. Men det er ikke gratis. En følge av dette er at med unntak av oktaven er ingen intervaller lengre helt rene, men en god tilnærming. Ironien ligger i at for å få en praktisk anvennelig stemming ble det nødvendig å gi løsne på de grunnleggende prinsippene som var utgangspunktet for skaladanning, nemlig velklingende intervaller med fine tallforhold. Garreth Loy (2006:72), uttrykker dette på følgende måte:

Now every key sounds as in tune (or out of tune), as every other key,  just as we wanted, but at the expense of the pure integer ratios, which have been virtually banished. It is somewhat reminiscent of the modern practice where an oak grove is ripped out to build a shopping center and then the shopping center is named Oak Grove. We are left with the impression of the pure intervals but not with their reality.  We get the advantage of the modern conveniences (transposition) but at the expense of the reason we wanted it. Isn’t it interesting that not even music is immune to the inevitable downside of technological advance? the moral: nothing is free. (Loy  2006: 72)

Et rimelig spørsmål å stille seg er: Hvorfor dele oktaven i akkurat 12 like toner? Med renstemt og pytagoreisk skala har vi tatt utgangspunkt i et system hvor antall toner kommer naturlig, men her har vi tilsynelatende bare valgt et tilfeldig tall? Hvorfor ikke dele oktaven i 10 like toner. Det burde jo samsvart fint med 10tallsystemet, og det er ingen teoretisk begrensning for å gjøre dette.

    Forklaringen ligger i at selv om man aldri kan få x-antall oktaver ved å summere y-antall kvinter, kan man komme veldig nært. Og første tilnærming ligger ved 12 kvinter=7 oktaver, der 12 kvinter er litt større enn 7 oktaver. Dette er første gang vi er “nesten rundt”. Følgelig hvis vi beveger oss 12 kvinter oppover og transponerer alle tonene innenfor samme oktav får vi 12 halvtonetrinn som tilsammen utgjør litt over en oktav. Ulikheten mellom 12 kvinter og 7 oktaver er (3:2)^12/(2:1)^7=3^12/2^19=531441/524288=1,01364… og kalles det pytagoreiske komma (Biiby 2003: 18). Siden 12 kvinter er litt større en 7 oktaver, vil det også gi oss litt for store halvtonetrinn, noe som kompenseres for i den tempererte skalaen. Dette er imidlertid ikke eneste tilnærmingsverdi. Garreth Loy (2006: 73) viser til at 19kvinter og 11 oktaver ligger veldig nært. En enda bedre tilnærmingsverdi finner vi i 53 kvinter mot 31 oktaver, og Bibby (2003: 27) skriver at dette argumenterer for at vi kanskje burde delt oktaven i 53 like store trinn istedet med tanke på at tempereringen i størst mulig grad skal opprettholde rene intervaller. Selv tror jeg forklaringen på at vi fortsatt primært holder oss til 12 toner innen oktaven enkelt kan forklares med at det er nok å holde styr på. Både når det gjelder å treffe tonen som sanger, og når det gjelder konstruksjon av diverse instrumenter.

Som avslutning av dette kapittelet vil jeg vise til denne tabellen som viser hvor tett de forskjellige intervallene i den tempererte skalaen ligger til henholdsvis den pytagoreiske og den renstemte uttrykt med tallforhold i forhold til grunntonen.

Tone	Pytagoreisk	Renstemt	Temperert
C	1	1	1
D	9/8=1,125	9/8=1,125	1.122462…..
E	81/64=1,265625	5/4=1,25	1,259921….
F	4/3=1,33333...	4/3=1,333333	1,334839…..
G	3/2=1,5	3/2=1,5	1,498307…..
A	27/16=1,6875	5/3=1,66666…..	1,681792…..
H	243/128=1.8984375	15/8=1.875	1.887748…..
C	2	2	2