Stemming av skalaen

 

I så og si alle bøker jeg har lest om musikk og matematikk er stemming av skalaen et tema. Med utgangspuntk i læreplanen for videregående kunne det kanskje vært naturlig å trekke frem lyttefaget igjen, siden en skala lett kan tolkes som et grunnelement i musikken. Et annet fag som kanskje er enda mer naturlig å trekke frem er “Anvendt musikklære”, som er et av hovedområdene i det noe mer omfattende faget Musikk. Dette er et Vg1-fag som i tillegg til anvendt musikklære, består av hovedområdene hovedinstrument, biinstrument og samspill (Internettkilde 6: Hovedområder). Under fagets kompetansemål kan vi lese at eleven skal kunne  “gjenkjenne og bruke skalaer og tonearter og spille/synge innenfor dem (Internettkilde 6: Kompetansemål).” Om det er matnyttig å lære elevene den matematiske oppbygningen av en skala er en pedagogisk diskusjon som går utover denne oppgavens rammer, men jeg vil tro at i mange klasser vil det være nok å lære dem forskjellen på dur og moll. Imidlertid ser jeg på det som veldig nyttig for en lærer å ha et bevisst forhold til dette. På den måten har man mulighet til å gi ordentlige svar på spørsmål som “hva er temperering?”, “Hvorfor er det akkurat 12 toner innen oktaven?”, og “hvordan ble skalaen til?”.

Hva er en skala, og hva er dens grunnelementer?

Garreth Loy (2006: 16) skriver at en musialsk skala er et ordnet sett av tonehøyder, sammen med en formel for å spesifisere deres frekvenser. Hver tonehøyde i skalaen har sitt navn, og sitt forholdstall til grunntonen. Loy (2006: 41) skriver at for å konstruere en likesvevende temperert skala må vi 1: Knytte den til en referansefrekvens, f.eks A440hz (vår kammertone), 2. Navngi intervallene i skalaen, 3. Kalkulere frekvensen til intervallene utfra referansefrekvensen. Denne fremgangsmåten gjelder forøvrig alle skalaer, ikke bare den tempererte. På en måte er den tempererte skalaen enklere å beregne da det kun tar utgangspunkt i et tallforhold for halvtonetrinnet, men både pytagoreisk skala, og renstemt skala som vi skal se på, tar utgangspunkt i samme prinsippet.

    Et poeng jeg vil trekke frem her er viktigheten av en referansetone. Siden opplevd tonehøyde handler om forholdene mellom frekvensene, går det fint an å konstruere en teoretisk skala uten å si noe som helst om tonenes faktiske frekvens. F.eks kan jeg si at en skala består av tonene C, F, G og c, der F ligger en ren kvart over C (4:3), G en Ren kvint over C (3:2), og c en oktav over (2:1). Denne oppskriften er entydig, men sier ingenting om hvor lyst eller mørkt skalaen er stemt. Først når jeg definerer en frekvens, f.eks kan jeg si at C har frekvensen 132hz, blir alle tonehøydene entydig bestemt. Akkurat samme prinsippet gjelder vårt tonesystem. Det vi opplever som en c er en entydig tonehøyde, det forteller ikke annet enn at tonen ligger en liten ters over kammertonen a, som vi har definert som 440hz.

    I det øyeblikket vi omdefinerer referansetonen, vil alle andre toner tilpasses likeledes. Det alternativet jeg selv er mest vant til er å synge barokkmusikk med A415hz, som referansefrekvens. Dette tilsvarer at alle tonene ligger ca et halvt trinn dypere enn vi er vant til med 440hz som referansefrekvens. Men tonehøyden har variert mer enn dette. Garreth Loy (2006: 42), skriver at frekvensen til A har hatt et omfang fra 312hz, brukt i et 1600talls kirkeorgel, til 464hz som ble bruk av noen britiske militærkorps ved slutten av 1800tallet. Dette er et stort omfang. 312:464 kan forkortes til 39:58=0,6724.. som ikke ligger langt unna en kvint. Å standardisere kammertonen A440 ble forsøkt på en kongress i Stuttgard i 1834, men det var først i 1939 at den ble adopert som en verdensomspennende kammertone (Loy 2006:42).

    Det finnes et stort antall skalaer, og antall toner i en skala varierer mye. Våre vanligste skalaer dur og moll, er diatoniske med 7 toner innen en oktav, men vi har pentatone skalaer med 5 toner, den kromatiske skalaen har 12 toner og er følgelig en dodekafonisk skala (Loy 2006:46), og en heltoneskala har 6 toner innen oktaven for å nevne noen. Likheten med alle eksemplene er imidlertid at de har oktav som rammeintervall. Neil Bibby (2003: 14) skriver at forholdet 2:1, altså to noter i oktavavstand er basisen for konstroksujonen av en hver muskalsk skala. Garreth Loy (2006: 16) er ikke fullt så bastand, og skriver at de fleste musikalske tradisjoner har annerkjent viktigheten av primen og oktaven ved å organisere skalaen rundt disse som ramme. Han skriver videre at man definerer gjerne skalaens tonehøyder kun innen en oktav, med en underliggende forståelse av tonene kan transponeres til hvilken som helst oktav på grunn av det han kaller for “octave equivalence”. Loy (2006: 14), skriver at hvis identitet br at 2 tonehøyder klinger likt (prim), betyr ekvivalens at vi kan skille dem, men det tjener samme musikalske formål likeverdig, og i praktisk talt all musikalsk kultur tjener toner som kun skilles med x-antall oktaver samme musialske funksjon. En banal måte å si dette på er at “toner i oktaver er samme toner, bare at de klinger lysere/mørkere”. På grunn av dette skriver Loy (2006: 86-87) at praktisk talt alle skalaer er basert på oktaven som referanseramme. Selv med den andre Wienerskolens brudd på tonaliteten, eller med mikrotonaliteten som dekonstruerte halvtonetrinnet forble oktaven hellig (Ibid: 86). Imidlertid er det ingen teoretisk begrensning for å konstruere skalaer med andre rammeintervaller enn oktaven. Loy (2006: 87-93) viser til “The Bohlen-Pierce Scale” som et eksemple på dette. Det som er viktig å ta med seg i en undervisningssammenheng er imidlertid ikke at man teoretisk kan lage skalaer med andre rammeintervaller, men hvorfor oktaven i praksis alltid er rammen for en skala.

Skalaens opprinnelse. Sir James Jeans tanker (Mulig jeg utelater dette kapittelet)

Sir James Jeans (1968: 160-165), tilnærmer seg hvordan de første organiseringene av tonehøyder kan ha oppstått. Han viser til at musikk i en eller annen form har eksistert siden menneskehetens barndom, og at at for 5000 år siden hadde man allerede gått fra nytelsen av en enkelttone, til flere påfølgende toner (en melodi). Dette er blant annet basert på en utgraving av en 11strengs lyre og et gammelt egyptisk maleri fra ca 2750 før kristus (ibid: 160).

    Han skriver videre at tidlig musikk var unison, men på et eller annet punkt må ideen om å synge flere toner samtidig ha oppstått. Før dette var ikke organisering av tonehøyder like viktig, for de klang aldri sammen. Jeans kan ikke referere til flerstemmighet i komposisjoner her, for i musikkhistorien begynner ikke dette å florere før nærmere år 1000. Elef Nesheim (2004: 18-19) viser til avhandlingen Musica Enchiradis fra slutten av 800-tallet som en tidlig kilde på flerstemminghet, og stemming av skalaen er mye eldre enn dette. Derimot kan dette forståes som utvidelse av faste toner i stemmingen av et strengeinstrument, f.eks en lyre. Jeans (1968: 162-163) tenker videre at inføring av kvinten er det neste etter oktaven, og som en følge kvarten. Med oktaven som ramme kan vi gå en kvint opp fra grunntonen, og en kvint ned fra oktaven. Med C som grunntone får vi d tonene Cfgc. Ideen nå er at kvintintervallet klinger konsonerende. Med disse 4 tonene har man muligheten til å la C klinge sammen med både f og g, altså to toner. Hvis man tar utgangpunkt i g kan derimot denne bare klinge med en tone, siden C og c er samme tone bare i oktaver. Jeans (1968: 162) tenker seg at “vår pioneer vil utvide mulighetene med å introdusere g-ens kvint d”. Vi har nå gitt g samme muligheter som c hadde opprinnelig, men nå har tonen d, det samme “problemet” som g hadde i stad. for å løse dette kan man introdusere den nye tonen a, som er kvint til d. Dette systemet kan trekkes til det uendelige med innføring av stadig nye toner, for en summering av rene kvinter vil aldri bli lik en summering av oktaver. Spørsmålet er med andre ord hvor man skal stoppe i denne tilføyelsen av nye toner. At systemet aldri går rundt kan lett forklares matematisk.

Kvint har forholdet 3:2, mens oktaven har forholdet 2:1. Oktav+kvint, altså duodecimen har forholdet 3:1. Siden det er irrelevant hvilken oktav intervallet er i, kan vi like gjerne se på forholdet duodecim kontra oktav, siden dette involverer enda enklere matematikk. Hvis vi tar utgangspunkt i en felles grunnfrekvens F, vil vi ved å legge til oktaver få frekvenser som kan skrives på formen F*2^x, altså F ganget med 2 x antall ganger. hvis vi legger til duodecimer, vil vi få frekvener som kan skrives på formen F*3^y, altså F ganget med 3 y antall ganger. x og y er naturlige tall. Hvis disse to funksjonene skulle kunne møtes, vil det si at det må finnes som kans krives som 2*2*2*2*2 x antall ganger, og dessuten som 3*3*3*3*3 y antall ganger. Dette er en motsetning. Alle tall som skrives på formen 2^x, vil ha 2 som eneste primfaktor. Alle tall som skrives på formen 3^y vil ha 3 som eneste primfaktor. Det er ikke mulig for et tall å både ha 2 som eneste primfaktor, og 3 som eneste primfaktor samtidig. Følgelig kan ikke påstanden 2^x=3^y være sann.

Jeans (1968:163) påpeker at selve tankerekken hans er fiksjonell . Utviklingen har vært mye mindre lineær enn han har fremstillt det, men målet har nok vært det samme. Å velge toner som klinger konsonerende sammen (Se kapittel XZ). Og han skriver at selv om forskjellige kulturer voldsom variasjon i klær, språk livsstil osv, er utformingen av skalaen overraskende lik. Den er hvert fall bygd på de samme prinsippene (idib: 1964).

Pytagoreisk skala

Neil Bibby (2003: 14) skriver at den første skalaen som er beskrevet er den pytagoreiske. Dette systemet for å stemme skalaen er eldre enn Pythagoras, men den teoretiske tilnærmingen knyttes gjerne til Pytagoras.

    Denne skalaen tar utgangspunkt i de rene konsonerende intervallene oktav, kvint og kvart. Med å gå en kvint opp fra grunntonen, og en kvint ned fra oktvaven, får vi skalaens faste toner nemlig grunntone, kvart, kvint og oktav. Dette kan utrykkes med tallforholdene 6:8:9:12, hvis vi tenker tonehøyde. Med denne faste rammen oppstår det et nytt ikkekonsonerende intervall, nemlig tallforholdet 8:9 eller 9:8 som vi finner mellom kvarten og kvinten. Dette intervallet fikk betegnelsen “tonos”, som kan oversettes til tonetrinn (Sundberg 2002b: 111). Med våre faste intervaller har vi 2 tetrakordrammer, altså 2 kvartintervaller med en heltones avstand. Disse rammene ble så fyllt med heltonetrinn. Fra grunntonen til kvarten er det plass til 2 heltoner, pluss en liten rest, og tilsvarende fra kvinten til oktaven (Ibid: 112). Denne resten har tallforholdet 256:243. Den Pytagoreiske har følgende tallforhold til grunntonen og er en diatonisk skala, og selv om begrepet ikke ble brukt på den tiden, tilsvarer det var durskala:

Som vi kan se her har vi like store heltonetrinn, og halvtonetrinn. Imidlertid er det verdt å merke seg at durtersen er noe høyere enn den rene tersen vi finner hos Zarlino. Dette er en av grunnene til at den renstemte skalaen oppstod.

En annen tilnærming til den pytagoreiske skalaen som vil gi samme resultater å legge sammen kvinter, for så å trekke fra x-antall oktaver for å få alle tonene i samme oktav. Med utgangspunkt i tonen C, finner vi kvarten F med å gå en kvint ned. De resterende tonene finner vi med å gå kvinter opp fra C.

(Sett inn bildet Bibby 16)

En følge av dette, som er en fordel med pytagoreisk stemming er at alle de rene intervallene innen skalaen er faktisk rene. Med det mener jeg at alle kvinter har forholdet 3:2, og alle kvarter har forholdet 4:3. Som eksempel kan vi teste forholdet mellom tersen og seksten i skalaen, som skal være en ren kvart. 27:6/81:61=4:3 altså en ren kvart. Vi kan også teste kvintintervallet mellom tersen og septimen i skalaen. 243:128/81:64=3:2, altså er intervallet en ren kvint. Dette har sin forklaring i at skalaen faktisk er bygd opp av en stabling av kvinter. En ulempe med skalaen er derimot at den ikke er transponerbar, siden som forklart vil aldri en summering av kvinter være lik en summering av oktaver.

Den renstemte skalaen

Den renstemte skalaen “oppsto” i Renessansen. Giuseppe Zarlino publiserte i 1558 verket Institutioni harmoniche der han foreslo en alternativ stemming av durskalaen (Bibby 2003: 20). Hittil hadde den pytagoreiske stemmingen vært vanlig. En av “problemene” med den pytagoreiske skalaen, er som nevnt den noe høye durtersen. Tidlig musikk var i stor grad unison, men i renesansen ble musikken mer og mer flerstemt, og samklanger med terser og sekster ble vanligere (Ibid: 19-20). Som vi så i den historiske gjennomgangen mente Zarlino at terser og sekster måtte regnes som konsonanser.

    Denne “nye skalaen” som Zarlino foreslo var den renstemte, og den hadde følgende frekvenser i forhold til grunntonen:

*

Det som er verdt å merke seg, er at i denne skalaen samsvarer de innbyrdes intervallene med de vi finner i overtonerekka (Bibby 2003: 21). Det er også verdt å merke seg at alle skalatrinnene lar seg uttrykke med relativt enkle brøker. I hvert fall i forhold til den pytagoeriske skalaen. Leif Bjørn Skorpen (2003: 10), skriver at siden den renstemte skalaen samsvarer med overtonerekka er den “naturens egen skala”, og er den som bør klinge best i våre ører. Garreth Loy (2006: 72) skriver at “classical Hundistani and Arabic music is still firmly rooted in small integer ratio scales, and that music scintillates with a pleasurable harmonicity that has touched a deep longing in the western ear.” han skriver også at dette forklarer hvorfor bruken av slike stemminger  har blitt populære i vesten i nyere tid, og at symmetrien mellom overtonene og skalaene er særdeles tilfredsstillende (Ibid: 72).

    Garreth Loy (2006: 60) skriver at den renstemte skalaen tar utgangspunktet i durtreklangen som danner det innbyrdes forholdet 4:5:6. Den store tersen har forholdet 4:5, og den lille tersen har forholdet 5:6, som vi ser har kvinten forholdet 4:6=2:3, så den er fortsatt ren. Videre får vi en fin fremgangsmåte for å finne den renstemte durskalaen (ibid: 61-62):

Start med å velge grunntonen, her C (og oktaven, hvis frekvens er 2*C), og finn den store tersen E, som vil ha frekvensen (5:4)*C.

Finn så kvinten G, som vil ha frekvensen (6:4)*C=(3:2)*C

Finn kvarten F, ved å gå en kvint ned fra oktaven C2: 2*C*(2:3)=(4:3)*C. Kvarten er altså ren fortsatt, med frekvensen (4:3)*C  

Finn seksten A, ved å gå en stor ters opp fra kvarten F: (4:3)*C*(5:4)=(20:12)*C=(5:3)*C

Finn septimen H, ved å gå en stor ters opp fra kvinten G: (3:2)*C*(5:4)=(15:8)*C

Sekunden D, finner Loy ved å finne oktaven over D2. Dette gjør han ved å gå en liten ters opp fra septimen H: (15:8)*C*(6:5)=(90:40)*C=(9:4)*C. For å finne D, går vi en oktav ned fra D2, som vil være en halvering i frekvensen: (9:4)*C*(1:2)=(9:8)*C.

Vi sitter igjen med den renstemte skala, hvor alle hovedtreklangen er rene. Derimot, ser vi at dette kommer på bekostning av sekundene. Noen store sekunder har forholdet 9:8, mens andre har 10:9. En følge av dette er at denne skalaen heller ikke har den pytagoreiske skalaens fordel med at alle kvinter og kvarter er rene. Riktignok er de rene i forhold til grunntonen, men forholdet mellom sekunden og seksten som på notebildet ser ut som en kvint er 40:27, som er mindre enn en ren kvint. Dette kan vi lett se. C-G er en ren kvint. D ligger en stor heltone (9:8), over C, mens A ligger bare en liten heltone (10:9) over G. Dette er riktignok eneste kvinten jeg finner som uren. I likhet med den pytagoreiske skalaen er ikke den renstemte transponerende.

Både den pytagoreiske, og den renstemte skalaen vi har tatt utgangspunkt i tilsvarer vår durskala.  Men hva så med en renstemt mollskala? En naturlig tilnærming ville kanskje vært å tatt utgangspunkt i durskalaen vår, men latt 6.trinnet tilsvare 1. trinnet i vår mollskala. Vi vil i såfall med utgangspunkt i vår C-dur ha skapt en A-moll skala. Dette kan virke som en grei løsning, men vi har et problem. Nemlig intervallet D-A, som nå hører til i en av hovedtreklangene i vår nye mollskala nemlig subdominanten, og er ikke en ren kvint. Garreth Loy (2006: 62-63) foreslår en annen tilnærming. Den renstemte durskalaen tar utgangspunkt i durtreklangen som består av en stor ters (5:4), og en liten ters (6:5), samt de faste tonene fra den pytagoreiske skalaen: kvinten og kvarten. En naturlig konstruksjon av en renstemt mollskala vil følgelig være å ta utgangspunkt i kvinten og kvarten, men bruke en molltreklang som utgangspunkt istedet for en durtreklang. Ved å konstruere molltreklanger fra grunntonen, kvinten og kvarten får vi en renstemt mollskala. Molltreklangen kan uttrykkes med tallforholdet 10:12:15, og en renstemt mollskala har følgende tallforhold:

A    H    C    D    E    F    G    A

1/1    9/8    6/5    4/3    3/2    8/5    9/5    2/1    Forhold til grunntonen

    9/8         16/15    10/9     9/8         16/15    9/8           10/9    Forhold mellom påfølgende toner

Den renstemte mollskalaen gir oss ikke noen nye intervaller i forhold til den renstemte durskalaen. Liten sekst, liten septim og liten ters er riktignok ikke intervaller vi finner i forhold til grunntonen, men vi finner dem alle i forhold til oktaven i den renstemte skalaen.

Transponeringsproblemet

Som vist har hverken den renstemte skalaen, eller den pytagoreiske skalaen muligheten for transponering. Kort sagt ligger forklaringen i at med en pytagoreisk m

Likesvevende temperering

Løsningen på tempereringsproblemet ble det vi bruker i dag, og som kalles likesvevende temperering. I dette systemet tar vi utgangspunkt i at alle halvtonetrinn skal være like store. Oktaven inneholder 12 halvtonetrinn, og følgelig må forholdstallet til halvtonen være det tallet som ganget med seg selv 12 ganger gir tallet 2. Dette tallet er 2^1/12, som er et irrasjonelt tall tilnærmet lik 1,0594631. Siden alle halvtonetrinnene nå er like store, vil alle tonearter ha de samme tallforholdene.

    Innføring av likesvevende temperering tok lang tid. Ideen om å definere haltonen som 2^½ ble alt foreslått av Simon Stevin (1548-1620) (Bibby 2003: 25). På tidlig 1700tall ble dette systemet i større grad utnyttet, men langt utpå 1800tallet var ikke dette systemet blitt universelt ennå (Og det er det forsåvidt ikke i dag heller) (Ibid: 27), England er særlig et eksempel på sen innføring der ingen av kirkeorgelene var temperert i 1851 (Ibid: 27).

    Likesvevende temperering har den fordelen at alle tonearter har samme forholdstall, og det medfører at dette er en veldig anvennlig stemming. En følge er at vi faktisk bare har 12 halvtoner innen oktaven med dette systemet, C#=Db D#=Eb osv. Men det er ikke gratis. En følge av dette er at med unntak av oktaven er ingen intervaller lengre helt rene, men en god tilnærming. Ironien ligger i at for å få en praktisk anvennelig stemming ble det nødvendig å gi løsne på de grunnleggende prinsippene som var utgangspunktet for skaladanning, nemlig velklingende intervaller med fine tallforhold. Garreth Loy (2006:72), uttrykker dette på følgende måte:

Now every key sounds as in tune (or out of tune), as every other key,  just as we wanted, but at the expense of the pure integer ratios, which have been virtually banished. It is somewhat reminiscent of the modern practice where an oak grove is ripped out to build a shopping center and then the shopping center is named Oak Grove. We are left with the impression of the pure intervals but not with their reality.  We get the advantage of the modern conveniences (transposition) but at the expense of the reason we wanted it. Isn’t it interesting that not even music is immune to the inevitable downside of technological advance? the moral: nothing is free. (Loy  2006: 72)

Et rimelig spørsmål å stille seg er: Hvorfor dele oktaven i akkurat 12 like toner? Med renstemt og pytagoreisk skala har vi tatt utgangspunkt i et system hvor antall toner kommer naturlig, men her har vi tilsynelatende bare valgt et tilfeldig tall? Hvorfor ikke dele oktaven i 10 like toner. Det burde jo samsvart fint med 10tallsystemet, og det er ingen teoretisk begrensning for å gjøre dette.

    Forklaringen ligger i at selv om man aldri kan få x-antall oktaver ved å summere y-antall kvinter, kan man komme veldig nært. Og første tilnærming ligger ved 12 kvinter=7 oktaver, der 12 kvinter er litt større enn 7 oktaver. Dette er første gang vi er “nesten rundt”. Følgelig hvis vi beveger oss 12 kvinter oppover og transponerer alle tonene innenfor samme oktav får vi 12 halvtonetrinn som tilsammen utgjør litt over en oktav. Ulikheten mellom 12 kvinter og 7 oktaver er (3:2)^12/(2:1)^7=3^12/2^19=531441/524288=1,01364… og kalles det pytagoreiske komma (Biiby 2003: 18). Siden 12 kvinter er litt større en 7 oktaver, vil det også gi oss litt for store halvtonetrinn, noe som kompenseres for i den tempererte skalaen. Dette er imidlertid ikke eneste tilnærmingsverdi. Garreth Loy (2006: 73) viser til at 19kvinter og 11 oktaver ligger veldig nært. En enda bedre tilnærmingsverdi finner vi i 53 kvinter mot 31 oktaver, og Bibby (2003: 27) skriver at dette argumenterer for at vi kanskje burde delt oktaven i 53 like store trinn istedet med tanke på at tempereringen i størst mulig grad skal opprettholde rene intervaller. Selv tror jeg forklaringen på at vi fortsatt primært holder oss til 12 toner innen oktaven enkelt kan forklares med at det er nok å holde styr på. Både når det gjelder å treffe tonen som sanger, og når det gjelder konstruksjon av diverse instrumenter.

Som avslutning av dette kapittelet vil jeg vise til denne tabellen som viser hvor tett de forskjellige intervallene i den tempererte skalaen ligger til henholdsvis den pytagoreiske og den renstemte uttrykt med tallforhold i forhold til grunntonen.

Tone	Pytagoreisk	Renstemt	Temperert
C	1	1	1
D	9/8=1,125	9/8=1,125	1.122462…..
E	81/64=1,265625	5/4=1,25	1,259921….
F	4/3=1,33333...	4/3=1,333333	1,334839…..
G	3/2=1,5	3/2=1,5	1,498307…..
A	27/16=1,6875	5/3=1,66666…..	1,681792…..
H	243/128=1.8984375	15/8=1.875	1.887748…..
C	2	2	2