Overtonerekka. Naturens egen orden.

 

Overtonerekka er kanskje den koblingen mellom musikk og matematikk jeg finner vakrest av alle. Overtoner finnes i praktisk talt alle naturligskapte toner, og selv om et utrent øre ikke hører dem, vil vi alle merke godt den dagen de forsvinner. Jeg velger å ta for meg overtonerekka såpass tidlig i oppgaven, da jeg ser på den som en slags “objektiv forklaring” på en del subjektive fenomener, som opplevelsen av konsonans/dissonans.

Jeg lærte selv først om overtoner/overtonerekka i det daværende musikkfaget “musikklære/hørelære/lytting” på videregående, og har selv undervist overtonerekka i det nåværende faget “lytting”. Derfor er det her jeg vil ta utgangspunkt for å forsvare dette kapittelet. Lyttefaget er et 1.klasse fag, og det ikke et stort fag. Totalt består det av 56 klokketimer (Internettkilde 5: timetall). Med kunnskapsløftet finnes det strengt talt ikke noe som heter pensum lenger, bare kompetansemål. Lærere står friere enn tidligere til å velge hva faget skal inneholde, og følgelig vil jeg ikke finne noe sted i læreplanen hvor det står at elevene skal lære overtoner. Så jeg må finne noe som tilsier at dette er naturlig å lære dem.

Fagets hovedelementer er “musikkforståelse” og “musikkens elementer” (Internettkilde 5: hovedområder), og det er særlig i musikkens elementer vi kan forsvare overtonene. Om musikkens elementer står det at “Hovedområdet dreier seg om gjenkjennelse og beskrivelse av musikkens grunnelementer, med utgangspunkt i aktiv lytting og noteforståelse (ibid: hovedområder).” Kompetansemålet knyttet til musikkens elementer er følgende: “gjenkjenne og beskrive musikkens grunnleggende elementer med utgangspunkt i klingende musikk og enkle notebilder(internettkilde5: Kompetansemål).”

At overtonerekka er et grunnelement i musikken er for meg hevet over en hver tvil. Den finnes i alle toner, og følgelig i all musikk. Spørsmålet om det er naturlig å undervise det her er derimot kanskje ikke så entydig. Det kan argumenteres for at elementer som melodi, rytme, form og instrumentkunnskap er viktigere, da dette er ting elevene kanskje får mer bruk for i det daglige. Imidlertid mener jeg at det ikke er unaturlig å gi overtonene sin avdeling. Som jeg skal vise i dette kapittelet finnes det musikk som er komponert med overtoner som utgangspunkt og de er helt grunnleggende for alle messingblåsere. Uten overtonerekka ville antall toner du fikk ut av en trompet vært begrenset.

Frekvens og tonehøyde (Åpningen her må redigeres ordentlig)

Før jeg tar for meg overtonerekka, føler jeg det er nødvendig med et lite blikk på oppbygning av hva en tone er, og hvordan vi oppfatter den. For en grundigere gjennomgang av dette anbefaler jeg f.eks Garreth Loy (2006) sin bok Musimathics, eller Sir James Jeans (1968)sin bok Science & Music. Jeg kommer ikke til å gjøre en komplett gjennomgang av lydens oppbygning, men fokusere på det jeg mener er nødvendig med tanke på overtonerekka.

    Rent fysisk er lyd trykkvariasjoner som sprer seg gjennom et materiale (for eksempel luft), og som registreres og oppfattes av øret. Vi snakker gjerne om lydbølger som disse variasjonene, og disse lydbølgene blir ofte fremstilt på denne måten:

Grafens høydepunkt viser det høyeste trykket, mens grafens bunnpunkt det laveste. Den vannrette linja i midten er normaltrykket. Hvor stort utslag bølgene har kalles amplitude, og oppfattes som variasjon i lydens styrkegrad. Bølgenes hyppighet kalles frekvens, og oppfattes som variasjon i lydens tonehøyde.

    I vår sammenheng er det frekvens som er mest interessant. Garreth Loy  (2006: 13) beskriver frekvens som en fysisk måleenhet av vibrasjoner per sekund. Mens “Pitch” eller tonehøyde er den tilsvarende sanseerfaringen av vibrasjonene. Altså er det her snakk om 2 sider av samme sak. På den ene siden har vi de rent fysiske lydbølgene og en måleenhet for antall svingninger per sekund. På den andre siden har vi vår opplevelse av disse svingningene. For eksempel oppleves 440 svingninger per sekund (440hz) som 1strøken a for oss.

    Pytagoreerne viste at avstanden mellom 2 toner kan uttrykkes ved et tallforhold. Vi opplever f.eks kvintintervallet som en konstant størrelse. Enten det er mellom 2 dype toner, eller to lyse toner vil vi oppleve avstanden som lik. Dette forteller oss derimot ikke noe som helst om frekvensdifferansen mellom disse 2 tonene. Hvis jeg f.eks sier at jeg har to toner som ligger med en avstand på 220hz, kan dette oppleves som en oktav (mellom a og a1), en kvint (a1 og e2) eller en stor ters (a2 og c#3) bare for å nevne noen eksempler. Hadde jeg derimot sagt at den lyseste tonen har en frekvens 1,5 ganger så høy som den laveste tonen, altså har forholdet 3:2, ville tonene klingt som en kvint uavhengig av hvor lys/mørk tonen er lagt.

    Dette forholdet mellom frekvens og tonehøyde er viktig å være seg bevisst når man blant annet jobber med overtonerekka.

Denne grafen viser hvordan frekvensen øker, hvis opplevd tonehøyde stiger jevnt. Et skritt på x-aksen tilsvarer en opplevd tonehøydeøkning på en oktav, mens y-aksen viser tilhørende frekvens. Grunntonen jeg har tatt utgangspunkt i her er store A (110hz), og formelen for å beskrive denne grafen er y=110*2^x. Frekvensen vil øke eksponentielt hvis opplevd tonehøyde skal stige jevnt.

    Hvis vi snur rundt på denne grafen, og vil la frekvensen øke konsant og se på hvordan opplevd tonehøyde varierer får vi denne grafen:

Jeg har tatt utgangspunkt i samme formel som i forrige bilde, men omformet den slik at x-aksen og y-aksen i praksis har byttet plass. Formelen som beskriver denne er y= ln(x/110)/ln2.

Her øker frekvensen med 110 per merket enhet på x-aksen, mens opplevd tonehøyde øker med en oktav for hver enhet på y-aksen. Som vi ser stiger opplevd tonehøyde saktere og saktere. Denne grafen kan tolkes som en grafisk fremstilling av overtonerekka. Hvert markert punkt på grafen tilsvarer en overtone i overtonerekka til store A (110hz).

Overtonerekka. Hva er den?

Overtonerekka finnes i all vår musikk. Enten det er snakk om en korkonsert, eller topp 20 på radioen vil overtonerekka være representert. Det vi opplever som en naturligskapt tone består i virkeligheten av mange toner/svingninger som klinger sammen. Disse medklingene tonene ligger lysere enn den grunnfrekvensen vi oppfatter, og kalles overtoner. Andre begreper som beskriver det samme er partialtoner og naturtoner. Selv om de beskriver det samme, sier hvert av ordene noe esensielt. Overtoner forteller oss at disse ekstratonene klinger over (lysere enn) grunnfrekvensen. Partialtoner forteller oss at disse tonene er en del (part) av en helhet. I matematikken snakker man om sammensatte tall og primtall. F.eks kan tallet 100 faktoriseres til 2*2*5*5. 100 er et sammensatt tall som består av faktorene (delene) 2*2*5*5. På samme måte er hver partialtone en del av den tonen vi hører, selv om vi ikke er disse delene bevisst. I ordet naturtoner ligger det at disse tonene finnes i naturen. Det er ikke noe mennesker har “funnet opp”. I en hver naturskapte tone klinger disse med om så i forskjellig styrkegrad. Overtonerekka har eksistert fra tidenes morgen, men ble først oppdaget på 1500tallet av Marin Mersenne(1588-1648). Fenomenets matematiske lovmessighet først klarlagt i 1701 av Joseph Sauveur (1653-1716) (Sundberg 2007: 24-27).

    Garreth Loy (2006: 29), skiller mellom instrumenter med “harmonic partials” og “inharmonic partials”. I første gruppe har vi instrumenter som fløyte, fiolin. Kort sagt har alle “melodiske instrumenter”. Instrumenter som trommer, og bjeller har uharmoniske overtoner (ibid: 29). De har heller ikke klart definert tonehøyde. Selv om  vi hører en tydelig frekvensforskjell, mellom en basstromme og en liten tam, er det vanskelig å definere noe tydelig tonehøyde.

    Overtonerekka tilhører instrumentene med “harmonic partials”. Overtonene til et melodisk instrument er heltallige positive multiplum av grunnfrekvensen (Loy: 2006: 29). Dette betyr at hvis vi har en grunnfrekvens F. Vil overtonene ha frekvensene 2F, 3F, 4F, 5F osv. F. eks. kan vi bruke store A som eksempel fra forrige delkapittel. Store A har frekvensen 110hz, og dens overtoner vil følgelig ha frekvensen 2*110hz=220hz, 3*110h=330hz 4*110hz=440hz osv.

Frekvensen øker altså konstant for hver nye overtone i overtonerekka, og som vi så av figur xx, betyr dette at opplevd tonehøyde kommer tettere og tettere.

Følgende bilde viser overtonerekka til store C:

Som vi ser av overtonerekka kommer overtonene tettere og tettere fordi forholdet mellom 2 påfølegnde overtoner blir likere og likere. F.eks er det en kvart mellom 3 og fjerde overtone (3:4), mens 5 og 6 overtone har avstand på en liten ters (5:6). I teorien har ikke overtonerekka noen begrensning og overtonene vil komme tettere og tettere mot en grenseverdi på 1:1, altså 2 like toner. I praksis er det vanskelig å notere overtoner over nr. 16 i vårt notesystem fordi de da begynner å ligge tettere enn halvtonen.

    En interessant observasjon er at de intervallene som pytagoreerne regnet som de konsonerende, er de 3 første intervallene vi finner i overtonerekka, og de eneste intervallene som finnes i løpet av de 2 første oktavene (se mer om dette i kapittel xx). Man kan argumentere med at det var pytagoreernes subjektive oppfatning at disse intervallene låt renest, men at de er de første intervallene i overtonerekka er et faktum. En objektiv sannhet som kan forsvare pytagoreernes observasjon.

    En annen ting jeg syns er interessant å observere er at for hver nye oktav i overtonerekka dobles antall overtoner. 1 oktav inneholder kun grunnfrekvensen, mens 2 oktav inneholder oktaven og kvinten over osv.

Overtonenes praktiske betydning

Overtonerekka er som seg interessant å studere. Men hvis den ikke hadde hatt noen praktisk betydning, ville det virke fjern å undervise om den på videregående. Jeg vil i dette kapittelet se på noen av de praktiske sidene ved overtonerekka.

Klangfarge

Klangfargen (timbre) til en tone er et av de feltene overtonenes eksistens kan oppleves i praksis. Å definere klangfarge kan være vanskelig. Garreth Loy (2006: 28) skriver blant annet at klangfarge brukes “in a general sense to describe an instrument’s sound quality as sharp, dull, shrill and so forth.” Han skriver videre at en lett mate å forklare klangfarge er å si noe om hva det ikke er. “timbre is everything about a tone that is not its pich, not its duriation, and not its loudness (ibid: 28).” Som Loyd påpeker er slike negative definisjoner ikke uten problemer. Imidlertid føler jeg at det får frem et viktig poeng. Hvis vi hører en fiolin og et piano spille samme tone, med samme styrkegrad og samme lengde hører vi fortsatt en tydelig forskjell. Hvordan man beskriver denne forskjellen er kanskje individuell, men at det er noe mer til en tone enn lengde, styrke og tonehøyde er tydelig.

    Og årsaken til denne forskjellen ligger i overtonene. Hadde man fjernet alle overtonene fra pianoets og fiolinens tone, hadde forskjellen mellom dem vært borte (Og ingen av dem hadde hatt sin karakter). Overtonerekka er i utgangspunktet den samme for alle melodiske instrumenter, men det er ulikt fra instrument til instrument hvilke overtoner som klinger med, og styrkeforholdet mellom dem. Blant annet har blåseinstrumenter med rør som er tett i en ende, kun “oddetallsovertoner”(Loy 2006: 264-265). Dvs kun frekvenser som er et oddetall ganger grunnfrekvens (1F, 3F, 5F osv..). Klarinetten er et eksempel på dette (Ibid: 264-265). Styrkeforholdet mellom overtonene er det som gir instrumenter forskjellig klangfarge (Raude 2000: Kap 2.3). Dette gjelder forøvrig ikke bare fra instrument til instrument, men også samme instrument utfra hvordan spiller på det (ibid). Et hard anslag på piano vil gi en annen klang enn et mykt anslag, og hvilken munnstilling man har vil påvirke klangfargen i en saksofon.

Messinginstrumenter   

Et spørsmål jeg stilte meg på videregående var: Hvordan kan en trompet spille kromatisk over 3-oktaver+ med bare 3 knotter. Med enkel kombinatorikk kan vi regne ut at 3 knotter gir totalt 8 mulige kombinasjoner for hvordan disse knottene kan være trykket ned eller ikke. Logisk sett må det da være slik at det kan spilles flere toner per kombinasjon. Knottene til en trompet fungerer på følgende måte. den ene senker grunntonen med et halvt trinn, den andre med et helt trinn og den tredje med halvannet trinn. Totalt sett kan man altså senke tonen kromatisk fra 0 til 3 hele trinn (tritonus), og vi har i praksis 7 forskjellige grunnfrekvenser en trompet kan operere med. Hver av disse grunnfrekvensene har sin tilhørende overtonerekke, og disse overtonene kan man ved hjelp av hvordan man blåser frembringe. Altså kan man få en av overtonene til å klinge istedet for grunnfrekvensen. Den dypeste normale tonen for en trompet er enstrøken c (bb natura) på instrumentet. Dette er imidlertid den første overtonen i overtonerekka til lille c (Bb natura). Neste tonen man får med åpent grep er følgelig enstrøken g, så 2strøken c osv. Følgende bilde viser de første overtonene til de forskjellige grepene på trompeten:

Alle disse tonene kan en trompet spille ved de forskjellige grepene. Vi ser at summen blir en kromatisk skala. Det er også verdt å merke seg at de dypeste tonene finner vi bare i en av rekkene. Første tone jeg finner minst 2 steder er 1strøken f#. Dette forteller at for å kunne få en kromatisk rekke helt fra starten av trenger vi minst 3 ventiler, og muligheten til å variere grunnfrekvensen innen en tritonus. La oss anta for moroskyld at trompeten kun har 2 ventiler, og mulighet til å senke grunnfrekvensen med halvannet trinn. I såfall faller de tre nederste rekkene bort, og vi har bare intervallet c1-a å operere med. Nå vil det være først fra tonen a, at instrumentet kan spille kromatisk. Men sett fra en annen side jo lysere vi kommer jo flere kombinasjoner finnes det for hver enkelt tone. I gammel tid hadde ikke messinginstrumentene ventiler, og var begrenset til en enkel overtonerekke. Det finnes fortsatt instrumenter som er begrenset av overtonerekka. Seljefløyte er et eksempel på dette.

Differansetoner. Virtuell grunntone

Differansetoner ble i følge Sir James Jeans (1968: 237) oppdaget i 1745 av den tyske organisten Sorge, og uavhengig av Tartini i 1754. Dette fenomenet er kanskje det som i sterkest grad viser overtonenes betydning i vår hverdag. Albregtsen og Skagestein (2007: 125).  skriver følgende: “Hvis hjernen synes at det ‘burde være’ en grunntone på en viss frekvens, vil vi kunne oppfatte en grunntone selv om det ikke finnes noen.” Dette betyr i praksis at hvis vi tar opp en (sammensatt) tone, og digitalt fjerner grunnfrekvensen, men lar overtonene klinge, vil vi fortsatt oppfatte grunnfrekvensen. Albregtsen og Skagestein (2007:125) viser som eksempel at hvis man lar 3 toner med frekvensen 200hz, 300hz og 400hz klinge sammen, vil vi oppfatte en virtuell grunntone på 100hz. Rent generelt kan vi si at om flere frekvenser klinger sammen, kan vi oppfatte en grunnfrekvens som ligger på disse frekvensenes største felles divisor. I vårt eksempel er 100 det største tallet som både 200, 300 og 400 kan deles på for å få et heltallig svar. Musikalsk sett betyr hvis flere toner klinger sammen, vil den lyseste tonen som har alle disse tonene i sin overtonerekke klinge med. Hvis for eksempel tonene a1(440hz) , c#2(550hz) og e2 (660hz) klinger sammen, vil vi kunne de skape grunnfrekvensen store A (110hz), siden det er den lyseste tonen som har alle disse tonene i sin overtonerekka.

    En ting er hvordan dette kan gjøres eksperimentelt ved å manipulere lyd. Et annet spørsmål er hvor stor betydning dette har i praktisk musikkbruk. Selv skal jeg innrømme at jeg ikke oppfatter disse differansetonene til vanlig når jeg synger og spiller. Men jeg tenker heller ikke noe større over overtonenes eksistens. I følge Sir James Jeans (1968:237) kan de høres ganske tydelig hvis man spiller to tilfeldige toner i Kvintavstand. Førsteinntrykket er kanskje at differansetoner er en forstyrrende for oss. Imidlertid har jeg til gode å høre folk klage på dette fenomenet, og det er noen praktiske fordeler med dette også.

    Et eksempel er toner som ligger på grensen til hva vi kan høre i dybden.  Albregtsen og Skagestein (2007:125) bruker de dypeste tonene på pianoet som et eksempel. Disse ligger i det aller dypeste registeret at hva menneskets øre kan oppfatte, og vi er veldig lite fintfølende på så dype frekvenser. Imidlertid hører vi de dypeste tonene på pianoet godt. Forklaringen ligger i overtonene. Selv om vi ikke hører selve grunntonen godt, ligger overtonene i et register vi hører utmerket og grunntonen oppfattes som sterk (Ibid: 125).

    Sir James Jeans (1968: 240-241) viser et annet interessant eksempel, nemlig telefonen. Han skriver at høytaleren i en god moderne telefon (i 1937) kan dekke frekvensene mellom ca 300hz og 2400hz. Frekvenser innen dette området høres klart, mens lysere og dypere frekvenser oppfattes nesten ikke. Den vanlige snakkestemmen til både damer og menn ligger dypere enn dette frekvensområdet, og følgelig er det veldig lite grunnfrekvenser som blir formidlet gjennom telefonen. Derimot høres overtonene tydelig, og hjernen “rekonstruerer” det riktige lydbildet utfra disse (ibid: 241).

Overtonerekka brukes også aktivt i komposisjoner. Jeg skal vise dette ved et eksempel senere. Et mer generelt eksempel er 1900tallets spektralmusikk komposisjonen er informert av overtonespekteret til lyder (Griffiths 2010: 339).  Forståelse av overtonene var også avgjørende i den elektroniske musikken. Når f.eks Stockhausen brukte elektronisk lyd for å lage klanger som aldri hadde eksistert før, var det gjennom å kontrollere hver enkelt deltones tonehøyde og volum (Rudi 2008: 15-16). Midilyder som etterligner akustiske instrumenter, er også basert på akkurat samme prinsippet. Elektronisk musikk er et interessant fenomen gjennomsyret av matematikk. Imidlertid er det ikke tema for denne oppgaven.

Frekvens og tonehøyde. To sider av samme sak?

Jeg skal snart begynne å skrive på mitt kapittel om overtonerekka i masteroppgaven min. I den sammenheng har jeg tenkt litt på forholdet mellom tonehøyde og frekvens. Frekvens refererer til selve svingehastigheten på en lydbølge, mens tonehøyde refererer til ørets tolkning av denne svningningen. For eksempel vil en tone med frekvens 400hz tilsvare tonen vi kaller 1-strøken a.
Det vi opplever som forandring i tonehøyde sier lite om hvor mye frekvensen øker. F.eks kan en frekvensøkning på 220hz tilsvare en oktav (mellom a og a1), en kvint (mellom a1 og e2), en ters (mellom a2 og c#3) osv. Det som derimot har noe å si er forholdet mellom den dypeste og den lyseste tonen. Hvis forholdet er 2:3 altså den lyseste tonen har en frekvens som er 1,5 ganger så høy som den dypeste, vil vi oppleve det som en kvint. Dette er jeg for øvrig innom i min historiske gjennomgang.

I denne sammenheng har jeg prøvd å utforme 2 grafer som viser forholdet mellom opplevd tonehøyde og frekvens. Utgangspunktet for begge grafene er frekvensen 110hz, som tilsvarer store A.

Første bilde tar utgangspunkt i en jevn stigning i opplevd tonehøyde langs x-aksen. Et skritt til høyre på x-aksen tilsvarer et oktavsprang opp, og x-aksen forteller følgelig hvor mange oktaver vi befinner oss over store A. Som vi ser vil frekvensen vokse eksponentsielt hvis den opplevde tonehøyden skal øke konstant.

Her har jeg snudd på formelen slik at x-aksen beskriver en jevn økning i frekvens. Et skritt til høyre på X-aksen tilsvarer en økning på 110 hz. Y-aksen viser tilsvarende opplevd tonehøyde. For hvert markerte punkt på grafen øker frekvensen konstant, mens opplevd tonehøyde forandrer seg mindre og mindre. Disse punktene viser for øvrig de første overtonene til store A.

Poenget her er å vise at overgangen mellom frekvens og opplevd tonehøyde kan kreve litt bevisstgjøring. Når det kommer til overtonerekka er denne bevisstgjøringen viktig, med tanke på at for hver nye overtone øker frekvensen med et konstant intervall, men forholdet mellom overtonene vil bli mindre og mindre. Følgelig vil de oppleves tettere og tettere.

Masteroppgave. Musikk og matematikk gjennom historien. 1. Utkast

Jeg har ikke brukt denne bloggen på over et år, men har fra starten av tenkt at jeg kan bruke den til å publisere utdrag fra min masteroppgave underveis i skriveprosessen. Hvem vet: kanskje får jeg noen brukbare kommentarer og tilbakemeldinger. Merk at dette er en direkte kopi fra min masteroppgave. Den er også uredigert, så det finnes nok noen svake setninger og språkfeil.

Without futher due: Musikk og matematikk gjennom historien.

Et historisk tilbakeblikk

“And so they have handed down to us clear knowledge of the speed of the heavently bodies and their rising and settings, of geometry, numbers and, not lest, of the science of music. For these sciences seem to be related” ARCHYTAS OF TARENTUM, ca. 400 f.kr. (sitert i: Fauvel, Flood and Wilson 2003)

Denne oppgaven tar utgangspunkt i læreplanen for videregående, og følgelig er det naturlig å ta en kikk på hvilke tanker det er gjort om musikk og matematikk gjennom historien. Dette ser jeg to gode argumenter for. For det første vil flere av temaene jeg tar opp senere i oppgaven være knyttet til personer jeg kommer til å omtale her, og følgelig vil en historisk bakgrunn gi en dypere forståelse. Det andre argumentet er at det største enkeltstående musikkfaget på videregående heter Musikk i Perspektiv (mip). Fagets hovedområder er Musikkhistorie og Lyttetrening (Internettkilde 4: Hovedområder)., noe som i praksis vil si at elevene skal gjennom dette faget lære seg musikkhistorien å kjenne, samt analysere en god del verker. I fagets grunnleggende ferdigheter kan vi lese følgende om regning:

“Å kunne regne i musikk i perspektiv innebærer å forholde seg til aritmetiske grunnforhold, som todeling og tredeling. Det inngår også som grunnlag for å forstå komponeringsteknikker, harmoniske strukturer og transponering (Internettkilde 4: Grunnleggende ferdigheter).”

At elevene skal forholde seg til aritmetiske grunnforhold i musikkhistorien, føler jeg gjør det naturlig som lærer å presentere noen musikkmatematiske skikkelser fra tidligere tider, da musikken gjerne ble knyttet til aritmetikken (Sundberg 2002a: 40). Jeg kommer tilbake til denne grunnleggende ferdigheten i kapittel XX, “Stemming av skalaen”.

    Under fagets kompetansemål kan vi i Mip1 og Mip2 blant annet lese at eleven skal beskrive hovedlinjene i musikkhistorien fra middelalderen og fram til i dag, med vekt på norsk og europeisk kunstmusikk… (Internettkilde 4: Kompetansemål). De skal også kunne dokumentere kunnskap om sentrale komponister, stilskapere, utøvere og et utvalg verk i samme periode (Ibid).  Med utgangspunkt i dette føler jeg det er naturlig å prøve å trekke noen hovedlinjer frem mot vår tid, men fokusere på noen sentrale utvalgte personer. Følgelig er det andre som ikke får så mye oppmerksomhet. Mine valg er gjort delvis på bakgrunn av den litteraturen jeg har tilgjengelig, og delvis på bakgrunn av de andre temaene jeg tar opp senere i oppgaven.

    Selv mipfaget starter med middelalderen føler jeg det er både naturlig å nødvendig å starte min historiske gjennomgang i den greske antikken. Dette fordi mye av middelalderens og nyere tids tenkning har sterke røtter her. Jeg tror dessuten at hovedgrunnen til at musikkhistoriefaget starter med middelalderen, og ikke antikken, ligger i at på tross av fragmentariske musikkfunn er antikkens musikalske egenart blitt borte i tiden (Sundberg 2000: 7). Det gjelder derimot ikke antikkens tanker om musikk. Jeg velger å fokusere antikkens tanker rundt en av tidenes største musikkmatematikere: Pytagoras.

Pytagoras

Ove Kristian Sundberg (2002b: 9), skriver at “Musikken og det musiske utgjør et dynamisk sentrum i gresk livsfølelse og virkelighetsforståelse.” Sundberg åpner sin bok “Pytagoras og de tonede tall”, med myten om Musenes fødsel slik den berettes av Pindar:

Zeus hadde latt verden ordne, og gudene betraktet i stum undring den herlighet som frembød seg for deres øyne. Mon det dog fremdeles manglet noe, var Zeus’ spørsmål. Og gudene svarte at det manglet èn ting. Tilværelsen manglet en stemme, den førløsende stemme som i ord og toner kunne utsi og lovprise all denne herlighet. For at en slik stemme skulle kunne lyde, behøvdes en ny type guddommelige vesener. Og dermed fremstod Musene som barn av Zeus og minnets Mnemosyne (Sitert i Sundberg 2002b: 9).

Som også Sundberg påpeker sier dette noe om hvor viktig musikken var for grekernes virkelighetssyn. Ikke bare var det musiske en guddommelig gave til menneskene, men den “har rot i tilværelsens egen orden og hører med til skaperverkets fullendelse (Ibid: 9).” Altså vil det være nærmest umulig å snakke om gresk livsforståelse uten å berøre musikken og det musiske. Det er i mine øyne nærmest umulig å overvurdere musikkens betydning. Musikken var så dypt forankret at man ikke bare måtte nærme seg musikkens vesen gjennom den generelle virkelighetsforståelse. Men at man dessuten nærmet seg virkeligheten som helhet gjennom musikken (Ibid: 10). Et sentralt punkt som jeg tror gav musikken en slik høy status ligger i at vi i musikken både finner det lidekapelige og emosjonelle (pathos), men også det rasjonelle (logos). I musikken forenes disse, noe vi skal se gjennom Pytagoras. Jeg vil understreke dette med et siste sitat:

“Ikke uten grunn blir musikken siden kulturens begynnelse feiret som den høyeste kunstart. På klareste måte fremviser den strukturer og symmetrier. Den står i næreste forbindelse med diktekunsten, men overskrider dog matematisk sprogets område. Dens rasjonelle harmonikk og rytme representerer i sannhet den prestabilerte kosmiske harmoni, og det med en dybdevirkning ingen annen kunstart viser maken til.”

En av tingene jeg finner så interessant med matematikken er at den for meg har en form for “objektiv og absolutt sannhet”. Matematikken kan beskrive figurer og fenomener mer “perfekte” enn hva vi kan finne i vår virkelighet, enten dette er snakk om en geometrisk figur der alle sidene er nøyaktig like store, eller en matematisk formel som beskriver en linje som fortsetter i all evighet. At denne absoluttheten også er dypt forankret i musikken gjør at jeg har forståelse for hvor høyt den ble satt hos grekerne. Liknende holdninger til musikken finner vi forøvrig også i det gamle Kina og det gamle India (Sundberg 2002b: 14).

Når det gjelder personen Pytagoras, er det knyttet mye usikkerhet til hvilke oppdagelser som tilhører Pytagoras selv, og hva som knyttes til hans elever. I matematikkens historie kan vi lese at han er omspunnet av legender og myter, og det er ikke alltid lett å skille mellom legender og sannhet (Holme 2001: 164). Sundberg (2002b: 23-36) drøfter dette, og viser til hvordan forskjellige forskere er uenige i hva som er sant og usant, samt hva som bør tilskrives Pytagoras selv. I vår sammenheng er ikke denne diskusjonen like viktig. Jeg ønsker å trekke frem noen grunnleggende trekk ved pytagoreisk musikktenkning, og knytter disse til Pytagoras selv for enkelhets skyld.

    For Pytagoras og pytagoreerne sto Tallet som en grunnpilar i deres virkelighetsforståelse. Tallets betydning sto så dypt at Sundberg påstår det ikke bare var slik at tallene er ting, men “tallene betraktes som det egentlige og realitetsbærende i alt som er (tingene er tall) (Sundberg 2002b: 54).” Av dette kommer påstanden “Alt er tall” (ibid: 54). Eirik Grønvold (1980: 131) skriver at den pytagoreiske opplevelse av tallet er at det er noe vesens-aktig med en kvalitetsdybde. Et slik syn på tall kan for oss virke ganske fjernt. I dag er tall først og fremst til å beskrive størrelser/mengder (kardinaltall), eller en plassering i en rekkefølge (ordinaltall).  Sundberg (2002b: 54-60) beskriver pytagoreernes forhold til tallet godt, og for en mer nøye gjennomgang av hva som legges i dette fenomenet må jeg vise til han. En måte og forsvare en slik kvalitativ opphøying av tallet finner vi nettopp i musikken (ibid: 57). At vi i musikken, et så følelsesladet og irrasjonelt fenomen finner grunnleggende strukturer basert på tallets lov, må ha gjort dypt inntrykk på Pytagoreerne. Jeg vil anta at for dem beriket musikken og tallet hverandre gjensidig. Tallet gav musikken en orden, og musikken gav tallet en videre og mer dyptgripende funksjon.

    Den konkrete oppdagelsen jeg særlig forbinder med pytagoreerne er forholdet mellom tonehøyde og strengelengde. Ved hjelp av et monokord fant Pytagoras, etter tradisjonen, ut av at de “best klingende” intervallene var de som lot seg uttrykke med de enkleste brøkene (Sundberg 2002b: 75-76). Pytagoras fant ut at hvis vi halverer strengens lengde klinger oktaven over. Dobler vi lengden klinger oktaven under. Følgelig kan oktaven uttrykkes som forholdet 1:2. Oktaven er det reneste av alle intervaller. Så symfont klinger den at tonene nærmest smelter sammen. En interessant side ved saken er at for at oktaven skal klinge må vi være nøyaktige. Bommer vi litt vil resultatet bli et meget dissonerende intervall (både stor septim og liten none, intervallene tettest til oktaven, er meget dissonerende) og perfeksjonen er følgelig brutt. Fra tallets side vil dette også kunne forsvares da et intervall som “nesten har forholdet 1:2” ikke kan uttrykkes med en enkel brøk. For eksempel er 499:1000 tilnærmet lik 1:2, men en mye større og tyngre brøk. Selv om pytagoreerne ikke kunne måle frekvenser slik vi kan i dag, har pytagoras i praksis oppdaget det omvendt proporsjonale forholdet mellom frekvens og strengelengde her. Dobles strengelengden halveres frekvense og motsatt.
    Videre oppdaget pytagoras at Kvinten kunne uttrykkes ved tallforholdet 2:3 og kvarten 3:4 (Sundberg 2000: 25). Disse tre intervallene ble stående som konsonderende intervaller, og som vi ser i musikkhistorien var det først godt ut i middelalderen, eller kanskje først renessansen at terser og sekster ble brukt som konsonanser i musikken. Disse intervallene dannet også de faste tonene i den pytagoreiske stemming av skalaen (Sundberg 2000: 27).

Jeg har selv fått konstruert meg et monokord for å teste ut Pytagoras’ ekspreimentering. I det følgende ser vi 3 stemminger av monokordet:

Oktavforhold

Kvintforhold

Kvartforhold

En viktig side med pytagoreernes tallbehandling finner vi i grupperingen av tall slik at de danner figurer (figurtall). Det kanskje mest kjente eksempelet på figurtall er kvadrattallene. For pytagoreerne er det derimot en annen tallfigur som er den mest betydningsfulle. Nemlig det dekadiske tetraktys (Sundberg 2002b: 63):

Som figurtall er dette snakk om det fjerde trekanttallet. Det er bygd opp av tallene 1+2+3+4=10. Dermed inneholder det potensielt alle tall, siden vårt 10tallssystemet som vi bruker egentlig bare starter på nytt etter å ha kommet til tallet 10, og tallene 1, 2, 3, 4 er de elementære tallene. Sundberg (2002b: 63) skriver at “I de fire elementartallene ser den pythagoreiske filosofi en ekspandering av tallets kraft fra eneren (punktet), via to-tallet (linjen) og tre-tallet (flaten), frem til fire-tallet (egemet). Her refererer han til vår tredimensjonale verden. Et punkt gir oss ingen dimensjoner i det hele tatt. Med to punkter dannes linjen og 1.dimensjon. 3 punkter er nok til å danne et plan, og 2. dimensjon, mens først ved 4 punkter er det mulig å danne et legeme og bevege seg inn 3. dimensjon. Om man med 5 punkter kan bevege seg over i 4. dimensjon er en diskusjon som går utover denne oppgavens omfang, men det er interessant å merke seg at 4 punkter er nok til å danne 3 dimensjoner som er det vi tilsynelatende lever i. Som sundberg skriver har vi rommer elementartallene “alle tall”, men de har også “grunnleggende geometrisk-stereometriske ekvivalenter (Sundberg 2002b: 63-64). Altså finner vi her både en link til aritmetikken og til geometrien.

    Med bakgrunn i dette finner jeg det ikke overraskende at det nettopp var oktaven (1:2), kvinten (2:3) og kvarten (3:4) som ble regnet som de konsonerende intervallene, og som utmerket seg. I disse intervallene finner vi alle elementartallene, og musikkens orden er således forankret i tallets vesen.

    Minste felles multiplum for å uttrykke både kvint og kvart og oktav innen samme ramme er med tallene 12:9:8:6. Her finner vi oktaven 12:6, Kvinten 12:8 og/eller 9:6 og kvarten 12:9 og eller 8:6. En annen ting som dukker opp her er tallforholdet 9:8, som er det pytagoreiske heltrinn (se kapittel XX) og som sammen med disse faste tonene danner grunnlaget for den pytagoreiske skalaen. Men det er et annet interessant fenomen jeg vil drøfte her, og det er middelverdier. Hva er midten av en oktav? Hvordan er det naturlig å dele en oktav i 2? Hvis vi ser på pianoet synes dette spørsmålet fåfengt. Det er lett å se at tritonus+tritonus=oktav, og følgelig er tritonusen en halvering av oktaven. Jeg har ikke tenkt å benekte dette faktum. Hvis man derimot i relativt hurtig tempo skal synge oktavintervallet, og gå innom en tone på veien, vil både kvarten og særlig kvinten være et betydelig enklere valg enn tritonusen. Det er hvert fall min egen erfaring. Hvis vi tar utgangspunkt i tallrekken vår 12:9:8:6, og knytter hvert tall til hver sin tone, vil 6 være grunntonen og 12 oktaven. Uavhengig av det vi vet om pianoet, burde vel gjennomsnittet av disse være midt mellom? Det vi bare kaller gjennomsnitt i grunnskolen, er det Sundberg (2002b: 95) referer til som det “aritmetiske gjennomsnittet” x=a+b/2 (sett inn ordentlig formel i word). Følgelig vil gjennomsnittet være 9 (6+12/2=9), og kvinten vil være det aritmetiske gjennomsnittet. Dermed kan kvinten sees på som et naturlig midtpunkt i oktaven. Hva så med kvarten? Sundberg (ibid: 95) viser til det harmoniske gjennomsnittet uttrykt som y=2ab/(a+b). Med denne formelen vil gjennomsnittet være 8 (2*6*12/(6+12)=8), og kvarten vil være det harmoniske gjennomsnittet. Altså er kvarten også en god kandidat som midtpunkt i oktaven.

    Men vi vet strengt talt at tritonusen er en halv oktav. Et tredje gjennomsnitt, det såkalte geometriske gjennomsnittet må i bruk for å få tritonusen som resultat. Det geometriske gjennomsnitt lar seg uttrykke som x=kvadratroten av a*b. I vårt tilfelle gir det oss svaret 6*kvadratroten av 2, som er et irrasjonelt tall.

    Grunnen til at jeg trekker frem dette er at jeg vil vise at selv om vi finner matematisk orden i musikken, finnes det også scenarier der den matematiske enkelheten ikke helt samsvarer med sånn “det burde være”. Dette vil vi også se i stemmingen av den tempererte skalaen.

    Med dette vil jeg bevege meg videre fra Pytagoras.

Veien videre fra Antikken og Boethius

Veldig mye nyere musikktenkning der matematikken spiller en betydelig rolle har røtter i den pytagoreiske tankegangen, noe vi skal se hos både Zarlino og Kepler som jeg kommer tilbake til. Etter en gjennomlesning av Sundbergs (2000, 2002a, 2007) bøker om musikktenkningens historie, er mitt inntrykk at den pytagoreiske læren lever videre gjennom middelalderen, og i mange sammenhenger blir “kristnet”. I en mer omfattende gjennomgang er det mange tenkere som burde vært nevnt, men jeg nøyer meg med å referere til Sundbergs bøker.
    Det er imidlertid et navn jeg vil trekke frem før jeg helt forlater Antikken, og det er Anicius Manlius Severinus Boethius (ca. 480-525 e.Kr.). Grunnen til at jeg akkurat velger meg ut han, er hans lansering av et tredelt musikkbegrep, som er relevant for min gjennomgang av Kepler senere i dette kapittelet. Boethius delte musikken inn i Musica munduna, Musica humana og Musica instrumentalis (Sundberg 2000: 105). Slik jeg forstår sundbergs beskrivelse (ibid: 105-106), er Musica instrumentalis den siden av musikken mannen i gata ville sagt var musikk i dag. Altså den sansbart klingende musikken som vi skaper gjennom instrumenter eller stemmen. Musica humana er musikkens prinsipper slik de gjør seg gjeldende i mennesket, både i sjelelivet og i samspillet mellom sjel og legeme. Slik jeg forstår det, må dette referere til musikkens virkning på mennesket. I dag ville man kanskje sagt at musica humana må være de følelsene musikk vekker hos oss, men jeg er ganske sikker på at dette prinsippet stikker dypere enn rent emosjonelt. Musica munduna er kanskje det fenomenet som vil være vanskeligst å forstå i dagens samfunn. Sundberg (2000:105) skriver at “Musica munduna vil si musikkens prinsipper, slik de gjør seg gjeldende i natur og verdensalt.” For meg vil dette si “musikkens sanne vesen”, eller kanskje man skulle sagt “urmusikken”. Et slikt fenomen vil synes meget fjernt for en ikkemusikkkyndig person i dagens samfunn. Musikk utenfor det menneskeskapte? Men bak denne tanken ligger elementene fra gresk antikk om musikken som en del av det fullbyrdede skaperverket. Slik sett er Musica munduna den delen hvis status er høyest, fordi det er musikkens grunnlag. Og dette stemmer også med Boethius tanker om hva en “sann musiker” er (Ibid: 106). Han deler musikere inn i de utøvende, de skapende og de som forholder seg rent erkjennelsesmessig til fenomenet (Filosofer/teoretikere), og konkluderer med at det er denne tredje kategorien som er sanne musikere (Ibid: 106). Personlig tror jeg at man trenger alle tre sidene for å kunne kalle seg en sann musiker da de beriker hverandre. Men det er interessant å se hvordan musikken som fenomen ble sett på som en vitenskap i lang tid.

Musikken som fri kunst

Selv om jeg ikke vil trekke frem mange navn fra middelalderen, føler jeg det er en ting som er viktig å se på. Nemlig musikkens plassering i Artes Liberales, de 7 frie kunster. Dette systemet ble etablert ca 400 e.Kr. av Martianus Capella (Sundberg 2000: 96). Disse kunstene ble regnet som frie i den forstand at de ikke var underlagt et bestemt praktisk forhold (Gads Musikleksikon 2003: 1301), men hadde verdi i seg selv. De frie kunstene ble delt i språklig treergruppe trivium, bestående av gramatikk, logikk og retorikk; og en matematisk firergruppe quadrivium, bestående av av aritmetikk, geometri, astronomi og musikk (Critchlow i Martineau 2010: 3, Sundberg 2000: 96). Musikkens plassering innen dette systemet har røtter helt tilbake til Pytagoras (Critchlow i Martineau 2010: 3), og hadde stor betydning for musikktenkningen i over 1000 år. Den siste betydelige musikkteoretiske behandlingen, med utgangspunkt i artes liberales, ble skrevet av Johann Gottfried Walther på begynnelsen av 1700tallet (Sundberg 2000: 96)

    Felles for alle quadrivium-disiplinene er tallet, og følgelig får aritmetikken en basal rolle, da den omhandler tallet som seg. Musikken derimot handler om tall i forhold til andre tall, og tall som er i bevegelse. Geometrien omhandler tall uttrykt i størrelser og form, og astronomien legger til bevegelsen som en faktor. Quadriviumdisiplinene kan også deles i 2 grupper der artitmetikk og musikk omtaler tall som mengde, mens geometri og astronomi omtaler tall som størrelse (Sundberg 2002: 38-40). Det som er interessant å merke seg her er at frem til ca 1500, var musikk per definisjon en matematisk kunst/vitenskap. Følgelig kan man kanskje påstå at å diskutere link mellom musikk og matematikk før 1500 nærmest er meningsløst, da all musikk var matematikk innen dette systemet. Dette viser også viktigheten av å ha en klar definisjon på hva jeg mener med musikk og matematikk/regning i denne oppgaven. Grener av matematikken som vi i dag finner helt naturlig, som symbolsk algerbra og sannsynlighetsregning hadde ikke sin plass i quadrivium, og slik sett kan man påstå at musikk i større grad var en matematisk disiplin enn disse.

    Selv om tanken musikk/matematikk ikke døde ut, begynte, i Renessansen, tanken om musikk knyttet til de språklige disiplinene å vokse frem stadig sterkere. Musikken ble flyttet fra å være knyttet til matematikken, til å være knyttet til retorikken. Musikkens emosjonelle side, og tydning av det musikalske uttrykket får økt interesse, og det skapende individ kommer mer i fokus (Sundberg 2002: 72). Denne musikk-retoriske retningen vokste seg enda sterkere inn i barokken, og kom etterhvert til å prege musikkforståelsen (Sundberg 2007: 39). En annen interessant observasjon i denne linjen, er at musikken på 1600tallet i følge Susanne Wollenberg (2003: 1) beveget seg fra å være en vitenskap til å være en Kunstart. I denne sammenheng er det også naturlig å nevne barokkens affektlære, “som ser musikken som bærer av klart formulerte og vel avgrensede emosjonelle momenter” (Sundberg 2007: 76). I motsetning til hos Boethius der det fornuftstyrte, og “objektive” var musikkens dypeste vesen, begynner nå musikkens språklige og emosjonelle side å ta over førersetet.

Zarlino

Hos Zarlino, 1500tallets største musikkteoretiker, finner vi sterke røtter i antikk tankegang. Ikke minst er Boethius’ tredelte musikkbegrep aktuelt. For Zarlino er det derimot den klingende musikken (musica instrumentalis) som er den viktigste (Sundberg 2002a: 80). I vår sammenheng er kanskje den viktigste faktoren med Zarlino innføringen av den renstemte skalaen (Se kapittel XX). I dette avsnittet skal jeg konsentrere meg om Zarlinos tilnærming til Tersintervallet.

    I likhet med Pytagoreerne mente Zarlino at musikken var tilgjenglig for rasjonal gjennomlysning gjennom matematikken (Ibid: 81), men i motsetning til Pytagoreerne var det ikke nok med tallene 1-4 for å beskrive de konsonerende intervallene. Hans musikalske erfaring tilsa at også terser og sekster var å regne som konsonanser,og derfor utgangspunkt i en tallrekken 1-6 (Ibid: 82). Med denne kan også den store (4:5), og den lille tersen (5:6) uttrykkes.

    Jeg viste i kapittelet hvordan en man ved bruk av gjennomsnittet av oktaven fikk uttrykk for både kvint og kvart. Zarlino benyttet seg av den samme indelingen av kvinten for å uttrykke tersene. Men i stedet for å ta utgangspunkt i tonehøyder, brukte Zarlino strengelengder (Sundberg 2002a: 82). Altså vil det høyeste tallet referere til den dypeste tonen. Den laveste heltallige tallrekken som uttrykker både kvint, stor ters og liten ters er 30:25:24:20, her har vi uttrykk for kvinten (30:20), den store tersen (30:24 og 25:20) og den lille tersen (30:25 og 24:20). Ved å ta utgangspunkt i rammen 30:20 får vi den lille tersen (i forhold til den dypeste tonen) ved å beregne det aritmetiske gjennomsnittet (20+30/2=25), og den store tersen ved å beregne det harmoniske gjennomsnittet (2*30*20/(30+20)=1200/50=24). Som en kuriositet kan vi beregne den geometriske middelverdien også (Kvadratroten til 30*20= kvadratroten til 600= 10*Kvadratroten til 6) som er et irrasjonelt tall. Nok en gang ser vi at en halvering av et sterkt konsonerende intervall gir en ufullkommenhet.

   

Johannes Kepler

Kepler har i likhet med Zarlino en sterk link til Pytagoreisk tenkning, og antikkens forhold til musikkens nærmest guddommelige status (Grønvold 1980:130). Jeg vil imidlertid presentere en ny link med musikk og matematikk her nemlig verdensharmonien. Ideen om en verdensharmoni er ikke ny med Kepler. Den kan spores tilbake til Pytagoras (Grønvold 1980: 130), og den ligger også naturlig i Boethius’ musica munduna. Nytt med Kepler er derimot at han hadde tilgang på gode observasjoner av stjernehimmelen gjennom Tycho Brahe, noe som gjorde at han kunne uttrykke verdensharmonien på en mye mer konkret måte (Ibid: 135).

    I matematikkens historie (Holme 2004: 234-236) kan vi lese at Kepler i dag er mest kjent for sine tre lover om planetenes bevegelse. Av disse er i vår sammenheng den første loven som sier at Planetene går i ellipsebaner  med solen som det ene brennpunktet den mest relevante. Det står derimot ingenting om verdensharmonien her. Kanskje naturlig siden denne fokuserer på ren matematikk, men det gir lite innblikk i hvordan Kepler faktisk tenkte. Jeg skal ikke undervurdere disse lovene. Konklusjonen at planetene baner ikke var sirkler men ellipser var mer radikal enn jeg tror vi kan forstå. Kanskje like tung som å annerkjenne solen som universets sentrum. Kepler skal selv ha uttrykt fortvilet “Hadde banen bare vært en ellise!” (Grønvold 1980: 135) i det han jobbet med dette og hans beregninger stadig pekte mer og mer vekk fra sirkelformen. Men både Geir Vang (2003: 10), Ove Kristian Sundberg (2007: 14) Og Eirik Grønvold (1980: 133) er klare på at Keplers viktigste visjon var å finne bevis for ideen om Verdensharmonikken. Hans lover var bare verdifulle biprodukter.

    Før vi kan se på verdensharmonien trenger vi et blikk på Keplers konsonansteori. For en dypere gjennomgang av dette anbefaler jeg Geir Vangs (2003) hovedoppgave om temaet. Kepler mente at gehørets dom talte for at terser og sekster bør regnes som konsonanser, og kritiserer pytagoreerne for å la den rasjonelle argumentasjonen av å begrense seg til oktav, kvint og kvart overskygget gehørets dom (Sundberg 2007: 15). Nå vil jeg imidlertid legge til at Kepler levde i overgangen fra Renessanse til Barokk, en tid der tersen hadde fått god innpass i datidens musikk. Følgelig er det rimelig å anta at i Keplers ører vil en ters oppleves mer konsonerende enn i Pytagoras’. Kepler er altså enig med Zarlino når det gjelder hvilke intervaller som er konsonerende, men han savner en rasjonell begrunnelse hos Zarlino. Hvorfor begrense seg til en tallrekke på 1-6? (Ibid: 15). Kepler finner sin argumentasjon ved bruk av klassisk geometri. Det viser seg å være samsvar mellom musikalske konsonanser og konstruerbare (ved hjelp av passer og linjal) regulære polygoner innskervet i en sirkel (Ibid: 15). Med dette ser vi musikken knyttet opp mot geometrien, i motsetning til tidligere da den primært blir knyttet til aritmetikken.

    Prinsippet tok utgangspunkt i monokordet. Kepler markerte punktene på strengen med tanke på hvor de konsonerende intervallene ble dannet mellom delen av strengen og hele strengen. Han lot så hele strengen danne en sirkel ved å feste endene sammen (Grønvold 1980: 135).  Geir Vang (2003: 33-36) viser hvordan de forskjellige intervallene kan knyttes til forskjellige polygoner. Oktaven er det enkleste intervallet, som vi får ved å dele sirkelen i to like deler (tegne opp diameteren): Forholdet mellom halve sirkelen og hele sirkelen gir da uttrykket oktaven. Kvinten er neste, som vi får ved å konstruere en regulær trekant. Forholdet mellom sirkelbuen avgrenset av to av trekantens sider og hele sirkelen gir oss kvinten. Verdt å merke seg er at duodesimen også dukker opp her, som forholdet mellom sirkelbuen avgrenset av en av trekantens sider og hele sirkelen. Kvarten er neste intervall som lar seg uttrykke ved å konstruere et kvadrat og se på forholdet mellom sirkelbuen avgrenset av 3 sider, og hele sirkelen. Her dukker forøvrig også oktaven (2 sider/hele), og dobbeloktav (1 side/hele). Det neste konstruerbare polygonet er femkanten. Her finner vi både den store tersen (4:5) og den store seksten (3:5). Den lille tersen finner vi i den regulære sekskanten (5:6). Det er ikke mulig å konstruere en regulær 7kant, og her finner vi med Keplers øyne en rasjonell forklaring på hvorfor ingen konsonans uttrykkes med et forholdstall til 7. Hvis vi kikker på overtonerekka (Se kapittel XY), vil nærmeste kandidater til et intervall innen oktaven være 6:7, som tilsvarer en mellomting mellom heltonen og en liten ters, 5:7 som gir oss en tritonus, eller 4:7 som gir oss en septim. Den regulære 8-kanten er derimot konstruerbar, og her finner vi det siste konsonerende intervallet nemlig den lille seksten (5:8). Med dette har Kepler funnet en rasjonell begrunnelse for antall konsonanser.

    Det må i etterkant av dette nevnes at det finnes flere konstruerbare regulære polygoner enn de Kepler her opererer med. Den neste er 17-kanten som Carl Friedrich Gauss beviste at var konstruerbar i 1796 (Vang 2003: 39). Jeg syns likevel at Keplers observasjon er interessant, da vi må opp i meget høye tall (intervallmessig) før vi får nye konstruerbare polygoner. Jeg kommer tilbake til konsonansbegrepet i kapittel XZ.

    Men hva så med Verdensharmonien? I og med at planetenes buer ikke er sirkulære men elliptiske, vil planetenes avstand til Solen variere. I sin søken etter verdensharmonien undersøkte Kepler med solen som midtpunkt, de målte vinklene en planet danner i løpet av 24 timer, når de befinner seg i aphel (Lengst vekk fra solen) og perihel (Nærmest solen). Forholdet mellom disse vinklene kan uttrykkes som et intervall, og her dukker konsonansene opp. Av 16 intervaller er det bare 2 som ikke er konsonerende (Grønvold 1980: 137). I tillegg til enkeltplaneters vinkler til solen, sammenlikner også Kepler vinklene mellom 2 planeter. Kvartintervallet finner Kepler ved å sammenlikne vinklene månen i aphel og perihel danner til jorden pr. time (ibid: 139). Vedlagt tabell Hentet fra Grønvolds artikkel (1980: 138) viser oversikt over de intervaller som dannes av planetene.

    Kepler gjør flere beregninger utfra planetenes bevegelser som går utover denne oppgavens rammer, men jeg vil trekke frem en kuriositet. Kepler klarer med utgangspunkt i planetbanene å konstruere 2 skalaer nemlig dur og mollskalaen (Grønvold 1980: 139). Dette er interessant å merke seg med tanke på at musikkhistorisk sett er vi nå i en tid hvor dur- og mollskalaen begynner å ta over rollen som de to dominerende skalaene vi bruker.

    Kepler fant i ellipseformen en forklaring på hvorfor gud hadde valgt å la planetene bevege seg i ellipseform istedet for den “Perfekte sirkelformen”. Siden sirkelbuer ikke ville hatt noe aphel og perihel kunne de heller ikke dannet noen intervaller. For å bruke Grønvolds ord (1980: 140): “At skaperen i sin oppbygning av verdensaltet har foretrukket ellipsen fremfor den mest fullkomne form, sirkelen, begrunner Kepler med at Skaperen dermed har villet oppnå en musikalsk planetharmoni, og at denne harmoni var viktigere for ham enn den geometriske.”

   

1700tallet-1800tallet

Over på 1700tallet får musikken en lavere status enn den har hatt noen gang. Kjerschow (1988: 12-13) skriver: “Enkelte av 1700-tallets lærde omtaler musikken som et overflødig, om enn behagelig tidsfordriv; andre ser den som en uklar tale - eventuelt som et vitnesbyrd om uklar, følelsesladet tenkning - som kan overflødiggjøres ved at den utlegges i klartekst.” I motsetning til den pytagoreiske tankegang vi har fulgt, er altså musikken nå blitt degradert fra noe guddommelig, til en “pyntegjenstand” som kan være pen å høre på. Det er det beste musikken kan håpe på. Forklaringen på dette tror jeg ligger i at musikkens irrasjonelle (følelsesmessige) side og den rasjonelle (matematiske), som i antikken ble sett på som uløselig knyttet sammen (Kjerschow 1993: 17) blir i 1700tallets dualistiske perspektiv adskilt.

    Følgelig mister musikken i stor grad sin rasjonelle forankring fordi det er et så følelsesladet fenomen. Et eksempel på denne gnisningen er striden mellom Ramau (fornuft) og Rossau (følelse) (Kjerschow 1993: 14-45). En slik uoverenstemmelse vil jeg tro hadde vært ulogisk i antikken, da fornuft og følelse ikke ble sett på som noen motsetning.

Musikken irrasjonelle karakter gjorde at den ble nedvurdert på 1700tallet i opplysningstidens tidsalder. Derimot var det nettopp denne siden som gjorde at musikken ble sterkt oppvurdert på 1800tallet (Kjerschow 1993: 16).  Musikken fikk i romantikken en enestående status, igjen ble den vurdert omtrent like høyt som i antikken (Kjerschow 1988: 11). Men det var som sagt ikke på grunn av musikkens rasjonelle forankring, men snarere tvert i mot. Musikken sto som et rent kunstnerisk materiale. Musikk var bare musikk (Ibid: 11).

I vår sammenheng er det rimelig å si at forholdet musikk/matematikk var svakere enn i tidligere tider. Ved en mer detaljert gjennomgang ville det sikkert vært mulig å finne noen navn å trekke frem. Men i denne sammenheng føler jeg ikke det naturlig. På 1700tallet ble fornuft og følelse mer adskilt, og musikken var følgelig mindre viktig siden den var så følelsesladet. På 1800tallet var nettopp dette argumentasjon for at musikken var den høyeste kunst. Mitt inntrykk er at denne holdningen i stor grad finnes fortsatt i samfunnet. Jeg tror det er grunnen til at musikk og matematikk gjerne blir forbundet med den teoretiske og tørre siden av musikkens verden. Jeg er sikker på at disse fagene naturlig beriker hverandre. Selv om det er mye vi har lært i nyere tider som var fjernt for antikkens tenkere, har de forstått noe vesentlig ang. Musikk og matematikk etter mitt syn.

1900tallet til i dag

Jeg vil nå hoppe litt tilbake til starten av dette kapittelet. Der argumenterte jeg med faget Mip1 og 2 for å bruke et kapittel på musikk og matematikk gjennom historien. Mip 1 tar for seg tiden frem til 1900, og mip 2 tiden etter 1900. Følgelig bør jeg nå være halvveis, hvis jeg skal fordele denne historiske gjennomgangen 50/50. At jeg ikke velger å bruke mye tid på 1900tallet er ikke fordi det er blottet fra musikk og matematikk. Et viktig eksempel på matematikk i musikken fra tidlig 1900tall er Arnold Schønbergs 12-toneteknikk. Når tonaliteten ble brutt fant han her en form for orden som var nødvendig for musikken hans.

    Når det gjelder tiden etter 1945 (som markerer et skille i musikkhistorien) er mitt inntrykk  at temaet musikk og matematikk er gjeldende, kanskje mer enn noen gang( se Gulbrandsen 2012a, 2012b, 2012c, 2012d). Hvert fall når det kommer til komposisjonsteknikker. Gulbrandsen (2012a: 285) skriver at “komponistene [etter krigen] fant opp stadig nye strukturer og teknikker, gjerne basert på matematiske skjemaer og systemer.” Imidlertid må det påpekes at estetiske valg til slutt veide tyngre enn de tekniske systemene (ibid: 286). Her ser vi en annen tilnærming til musikk og matematikk, nemlig matematikken brukt som et middel for musikalsk skapning.

    Jeg velger likvel å ikke bruke mye plass på dette. Grunnen er at jeg kommer innom mye av det i senere kapitler, særlig gjennom kapittel XD om matematiske komposisjonsteknikker. Jeg kommer også til å gjøre 2 analyser av 1900tallskomponisers verk, et av Stockhausen hvor matematiske teknikker ligger som grunnlag for musikken, og et av Tavener hvor mitt inntrykk er at matematikken dukker opp naturlig uten å bli brukt bevisst. I denne delen har jeg hatt som mål å ikke skrive om ting jeg uansett vil ta opp i senere kapitler, og det er vanskeligere når det kommer til 1900tallet.

    Likevel er det naturlig å vise til et par naturlige innfallsvinkler for dem som vil dypdykke i musikk og matematikk på 1900tallet:

Serialismen er i seg selv et interessant fenomen (Se kapittel XX). Skulle jeg trukket frem en komponist, ville Iannis Xenakis vært god kandidat. Han kritiserte regnemåtene i serialismen for å være primitive, og ville erstatte dem med mer avanserte sannsynlighetsberegninger (Gulbrandsen 2012a: 291). Hans orkesterverk Metastaesis er et verk konstruert etter stokastiske matematiske prinsipper (Ibid: 292). Tilfeldighetsmusikken til John Cage er også et godt alternativ. Eller å se på likheter og forskjeller mellom serialistisk musikk og tilfeldighetsmusikk

En annen retning innen musikken, som peker seg ut etter 1945, og som definitivt kunne vært en naturlig innfallsvinkel, er den elektroniske musikken. Som Paul Griffiths (2006: 230) skriver: “A great deal in music since 1945 seems to have been leaning towards cybernetics: the idea of music as sounding numbers, the importance of rules and algorithms in composition,”.

Og med dette vil jeg avslutte min gjennomgang av musikk og matematikk fra en historisk innfallsvinkel.